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一、总论

最重要的一点是,傅里叶级数不是傅里叶展开,由 $f(x)$ 生成的傅里叶级数可能跟原来的 $f(x)$ 不相等,没啥大联系,就像泰勒级数也不一定等价于原函数,只能在收敛半径内等价一样。只有理清了这一点,才知道我们看待傅里叶级数的角度。


二、生成傅里叶级数

生成傅里叶级数用的是类似施密特正交化的方法,这个方法可以把一组线性无关的向量,转换成一组线性无关且正交的向量,其实可以将 $f(x)$ 看做一个向量(函数),由一大堆不知道多少个,也不知道是什么的其他向量(函数)组成,但是可以用一组由相互正交的三角函数组成的向量组(函数组)来代替他们,代替的过程中就写出来了。

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一、函数列和函数项级数的收敛性质

1.1 函数列和函数项级数的定义

函数列指的是 ${S_n(x)}$ 这样的序列,等价于数列,而函数项级数指的是将函数列${u_n(x)}$进行累加得到的 $\sum u_n(x)$ ,等价于数项级数。虽然我们一般都有等式 $S_n(x)=\sum^n u_k(x)$,讨论收敛性,或者是收敛后的分析性质时,描述的东西本质上是一样的,但是在处理方法上大有区别。比如说对于函数列一致收敛,我们一般用 $\beta$ 上界判别法,或者用柯西收敛原理。对于函数项级数一致收敛,我们一般用Dirichlet判别法或者Abel判别法或者柯西收敛原理进行判定,如果判定不了,还可以对函数项级数进行求和转化成函数列(这点尤为重要)。所以区分函数列函数项级数是很有必要的。

1.2 逐点收敛

应该意识到最重要的事情:逐点收敛是数的收敛,一致收敛是函数的收敛。但是即使这么说也要强调,收敛绝对收敛条件收敛描述的都是数项级数,也就是说描述的是逐点收敛,而不是一致收敛。再详细的说,收敛就是逐点收敛,千万不能产生概念辨析上的困难。要想学好这一章,最重要的就是区分这些概念的辖域

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数项级数

一、数项级数的敛散性质

1.1 求和

这是最基础的运算,但是却常常被忽略。因为其实这一章的问题是两步,第一步是判断级数是否收敛,由此演化出各种判别方法,出题一般也围绕这个方面进行设置;第二步是指出级数收敛到哪里,这个不是每个级数都有答案,但是如果直接解决了第二步,那么第一步就显得十分显然,但是就很少被我利用。

关于求和的方法,我会在基本功这篇笔记中进行讨论,就不在此赘述了。

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一、求极限

1.1 先化简

对于x趋于0,$e^{-x^2}$ 这种复杂的结构其实就是1。

1.2 减法式子化乘法

对于x趋于0,$\sqrt{1-x^3}- 1$ 当然要化成乘法了,这个其实是用广义二项式定理做的,属于等价无穷小,或者泰勒级数

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一、数理逻辑总论

1.1 形式

“Logic is about the form of things, but not the things themselves.”

逻辑=语法+语义,但是并非像自然语言一样,语义占据了统治地位,而语法只起辅助作用。恰恰相反,逻辑更关注语法,即形式。罗素说,数理逻辑是数学中的数学,也就是元数学,它试图构建一个基础,用来支撑庞大的数学体系。从这个角度来看,关注语法,确切的是形式,是十分必要的,因为这个元数学必须适用于所有的数学理论,那么仅仅局限与一个体系的语义,没有办法做到适用于所有体系。就好像数学对客观世界的抽象,如果只纠结于1怎么写1+1=2的问题,数学是没有长足发展的,只有提炼出未知数x这种可以代表一切自然数的东西,才能使数学的概括能力有所提高。我们也可以说,x是某个特定自然数,比如1,的形式。就像现在的数理逻辑是比如数论欧式几何的抽象,所以过于纠结于语义的现象就像在问“x+1里的x是多少一样?“没有意义。

1.2 定义形式

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一、对比

  1. 命题逻辑是研究不同简单命题间关系的,但谓词逻辑是研究简单命题内部结构的,是更加深入的考察。

  2. 命题逻辑形成的公式只需要赋值就可以确定真值,但是谓词逻辑就不行。这是因为谓词逻辑将简单命题拆为量词、主词、谓词。量词和主词要求指明论域,谓词要求指明具体含义。这些都使原来 p=1 的简单事情变成了 $\forall xP(x,f(a))=1$ 的复杂事情。我必须规定论域、谓词含义、常元值(命题逻辑中只有1和0,还被零元联结词的概念掩盖了,但是这里的a可以取一大堆值。本质是命题逻辑中的常元代表一个命题,而谓词逻辑里的a代表一个个体)、函数符号含义(在命题逻辑中不会出现普通函数,因为普通函数属于命题内部,命题逻辑不研究)。这就是解释存在的意义。

  3. 赋值也有不同,在命题逻辑中赋值,是将命题变元赋成0或1。在谓词逻辑中,是将自由变元赋成论域中的某个个体,说不定是苹果还是西瓜呢。

二、直观理解

  1. 谓词可以有两种理解,对于一元谓词,可以理解为他描述了主体的一种性质。对于多元谓词,可以理解为不同主词间关系的描述。进一步来讲,对于关系来讲,大多关系都是可以用一个相等关系或者不等关系表达的。这些类方程可以简化思考,还便于找反例。一整个公式就像一个方程组一样。

  2. 永真式等值演算紧密联系,两者可以说是逻辑中最重要的部分。即恒等变形

  3. 逻辑中概念很多,对晦涩的概念应当有以下认识:

    • 有些概念难是难在书写形式没有具体定义,这种搞懂就好了,要是老师书写也不规范,没必要纠结。比如赋值推论

    • 有些概念为了更加“数学”,所以不近人情,这种概念不可纠结。比如联结词

    • 有些概念就为了使要描述的其他定理和定义更加简洁,本身没有存在的必要。比如初等公式,其提出可能只是为了更好的描述重言式

    • 有些概念理解懂了基本含义不是结束,一定要理解概念提出是为了解决什么问题的,通俗的解释这个概念描述的现象,这才是正确方式。比如许多定理、某些等值演算。
    • 有些概念现在觉得画蛇添足,其实是为了后面的知识铺垫,所以不必纠结,有些概念理解不了,不如塌下心来做些题,在题中理解概念。
  4. 我们分析一个公式,应当有两方面的意识:

    • 语法:具体的有代换
    • 语义:具体的有赋值

三、书写规范

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