数项级数
一、数项级数的敛散性质
1.1 求和
这是最基础的运算，但是却常常被忽略。因为其实这一章的问题是两步，第一步是判断级数是否收敛，由此演化出各种判别方法，出题一般也围绕这个方面进行设置；第二步是指出级数收敛到哪里，这个不是每个级数都有答案，但是如果直接解决了第二步，那么第一步就显得十分显然，但是就很少被我利用。
关于求和的方法，我会在基本功这篇笔记中进行讨论，就不在此赘述了。
1.2 线性性质
这一部分常常因为过于显然而被忽略，但是其实线性性质有很多看似跟他没啥关系，但追根溯源，却是线性性质的应用，比如其在处理比较抽象的数项级数的时候有很大作用，这类题目一般给了一些已知的抽象的收敛级数，然后让证明未知的抽象级数，比如
已知 $nx_n$ 和 $\sum n(x_n-x_{n+1})$ 都收敛，让证明 $\sum x_n$ 收敛，其实就是把 $\sum x_n$ 用前面两个来表示。还有均值不等式放缩的题目。
1.3 其他性质
1.3.1 柯西乘积
对于矩形乘积，只要两个级数收敛，那么两者的乘积就收敛，但对于柯西乘积，只有两个级数都满足绝对收敛时，才能保证柯西乘积收敛。
1.3.2 结合律
若级数收敛，则对级数的项添加括号，而不改变顺序，得到的新级数依然收敛，且具有相同的收敛和。
若一个加了括号的级数，括号里的每一项符号一致，且收敛，则去掉括号后依旧收敛。
1.3.3 交换律（更序问题）
若级数绝对收敛，则任意调整级数各项的顺序，则新级数会收敛到原来的和。
若级数条件收敛，则任意调整级数各项的顺序，则新级数可以收敛到任意的一个值。
二、正项级数的判别法
2.1 比较判别法
这个就是利用p-级数的收敛性来进行判断，那么看出数项的阶数，就是最为重要的事情了，我在基本功中会详细论证其中的方法。
2.2 积分判别法
就是利用由1到无穷的一个无穷积分来代替级数判断，但是积分的功能有限，对于阶乘、n的n次方的结构的处理不占优势，所以用的很少。
2.3根值判别法和比值判别法
两者都会把问题转换成求极限的问题，求极限也是基本功的一部分，我会在里面详细叙述。
2.4 Raabe判别法
若 $\exist r>1, n>N,st\ \ n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)>=r$，则级数收敛。
可以看到并且证明这种判别法是层出不穷的，所以大概记住几个就可以了。
2.5 柯西收敛原理
大概这个一般是用来证明发散的，在证明发散的过程中，还是设计到了求和问题，但是柯西收敛原理求和不是一般的求和，他是一种放缩求和，首先p的选择一般都是n的倍数，然后放缩一般都简单粗暴。我会在基本功这一章讨论这一风格。
三、一般项级数的判别法
3.1 分部求和
可以看出跟分部积分公式还是挺像的。
四、直观感受
数项级数最重要的性质就是收敛，分为绝对收敛和条件收敛，之所以有这两个区别，是因为绝对收敛的条件更强，更有用。
当我们有了绝对收敛以后，最重要的就是柯西乘积和更序问题两个重要应用，为什么重要？是因为级数的本质也是在描述客观现象，更换顺序和相乘恰好是两种自然现象相互作用的方式，比如说在后面的生成函数问题。
为了获得绝对收敛，我们才演化出了判别法。