数学分析 - 数竞备考

一、求极限

1.1 先化简

对于 x 趋于 0，$e^{-x^2}$ 这种复杂的结构其实就是 1。

1.2 减法式子化乘法

对于 x 趋于 0，$\sqrt{1-x^3}- 1$ 当然要化成乘法了，这个其实是用广义二项式定理做的，属于等价无穷小，或者泰勒级数。

1.3 熟悉常见的泰勒级数

$$\begin{aligned} e^x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\dots+\frac{1}{n!}x^n+\dots\\ \sin x=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5+\dots+(-1)^{n-1}\frac{1}{(2n-1)!}x^{2n-1}+\dots\\ \cos x=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4+\dots+(-1)^{n}\frac{1}{2n!}x^{2n}+\dots\\ (1+x)^p=1+px+p(p-1)x^2+p(p-1)(p-2)x^3+p(p-1)(p-2)(p-3)x^4+\dots\\ \frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+\dots \end{aligned}$$

还有一个好玩的，

$$\arctan x = x-\frac{1}{3}x^3+\frac15x^5-\frac17x^7+\dots$$

这个为啥这么规整，是因为可以这样求

$$\frac1{1+x^2} = 1-x^2+x^4-x^6+\dots$$

这个式子是把之前这个式子中的 x 换成 $-x^2$ 得到的

$$\frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+\dots$$

然后 arctanx 求导就是这个，所以往上积分就可以得到。

1.4 再谈比较幂次

我在数学分析基本功里讲过这个事情，可以通过记忆比较常见的函数的幂次，就可以判断一些极限，但是这个方法阐述的不是很完善，现在再次阐述一下。

采用比较阶数的极限一定是分式型极限，对于求极限，那么显然极限是存在的，那么首先，利用这个性质，我们就可以先考虑对加减型的分子进行拆项，如果是可以拆开的，那么每个拆完的分式都是有极限的。拆完以后可以化简问题。

那么怎样判断极限是否存在呢？那么就是分子的最小幂次只能大于等于分母的最小幂次。这就是最本质的道理。只要不满足这个条件，极限就不存在，当等于的时候，会有一个非零极限，当小于的时候，极限为 0。

那么怎样利用这个性质呢？那么就是应该充分利用麦克劳林展开，然后再用柯西乘积，大胆的舍弃高幂次的项，就可以很快的判断极限，比如

$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos x(\cos 2x)^\frac{1}{2}(\cos 3x)^\frac{1}{3}}{x^2}$$

虽然是大部分是乘积形式的，但是只要胆子大，还是可以算的。首先，一旦幂次超过 2，那么就不用考虑了，因为极限为 0。所以要考虑就只有这样

$$\begin{aligned} \cos x=1-\frac12x^2+o(x^2)\\ (\cos 2x)^\frac12 = 1-x^2+o(x^2)\\ (\cos 3x)^\frac13 = 1-\frac32x^2+o(x^2) \end{aligned}$$

而且也不用把他们完全乘开，只需要看幂次等于和小于 2 的项就好了（等于的用于出结果，小于的用于和其他小于的项消掉，不然极限就不存在了）。所以有

$$\cos x(\cos 2x)^\frac{1}{2}(\cos 3x)^\frac{1}{3} = 1-3x^2+o(x^2)$$

最后就可以得到答案 3 了。

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二、微分

2.1 隐函数全微分

隐函数求导到底什么是最重要的？他跟普通的求导有什么区别？我们要怎样看待这种区别？我觉得这些问题都可以用将求导转化为求全微分解决，这种求法是我刚刚想出来的，让我花点时间解释一下。

传统的隐函数求导需要回答**对谁求导？**这个问题，这个问题在显函数之中是不存在的，谁是自变量，对谁求导，但是对于隐函数，这种东西是不靠谱的，比如一个简单的隐函数

$$x^2+y^2=1$$

那么为什么是要求成这种形式

$$2x+2yy^\prime = 0$$

这种因为极其不对称而极其丑陋的东西。

而且当隐函数出乘题目的时候，就会更加恶心（恶心表现在两方面求导繁琐易错和做不出来），比如这个题

$$已知y^2(x-y) = x^2,求证：\int\frac{1}{y^2}dx=\frac{3y}x-2ln|\frac xy|+C$$

因为知道是个隐函数题目，所以就先隐函数求导看看吧，结果巨难求，而且求完以后发现还要把后面那个式子等号两边求一下导，还是在是 y 而不是 y (x) 的情况下，就恶心至极，然后还解不出来，看了答案发现需要完成 $t=\frac xy$ 的换元才能做，这就很搞人心态。

但是如果是按全微分形式求呢？条件可以写成这样

$$(y^2-2x)dx+(2xy-3y^2)dy=0$$

哪怕这个时候再转成导数，也不要太简单。而且众所周知，分式（对应求导）比乘式（对应全微分）进行代数处理要方便许多。然后后面一路平趟，超级简单。

2.2 多元隐函数全微分

教材中给的还是结果，教材隐去了全微分列方程组，将方程组转化成矩阵，利用克莱姆法则求解矩阵这三个过程，直接上来莫名其妙行列式（相当于克莱姆法则的应用）。就让人摸不着头脑。我不知道我在这里哪怕记录下最原本的过程，过了一段时间以后会不会就忘记了，但是还是勉力记下吧。

我们以一道例题为例

$$\begin{cases} u^2 + v^2 - x^2 - y^2 = 0\\ -u + v - xy + 1 = 0 \end{cases}\tag1$$

求 $\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial y}$。我们先看看全微分形式的答案是怎样的

$$\begin{cases} du = \frac{\partial u}{\partial x}dx + \frac{\partial u}{\partial y}dy\\ dv = \frac{\partial v}{\partial x}dx + \frac{\partial v}{\partial y}dy \end{cases}\tag2$$

然后对于给出的隐函数求个全微分，看看会出现啥结果

$$\begin{cases} -2udu + 2vdv - 2xdx - dy = 0\\ -du + dv - ydx -xdy = 0 \end{cases}\tag3$$

所以答案就很明显了，因为（3）是一个四元两项的方程组，所以基础解系是二维的，可以用 dx 和 dy 表示 du 和 dv。那么他们前面的系数就是我们要求的偏导。

（3）是可以整理成矩阵形式的，就是

$$\left[\begin{matrix} -2u & 2v\\ -1 & 1 \end{matrix}\right]\cdot \left[\begin{matrix} du \\ dv \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} 2x & 1\\ y & x \end{matrix}\right]\cdot \left[\begin{matrix} dx\\dy \end{matrix}\right]$$

要是再粗糙一些，就可以用克莱姆法则解这个式子了（忽略 dx，dy 向量），但是这不是我要说的，我的方法就是普通的高斯消元。最后可以解得

$$\begin{cases} du = \frac{x - vy}{u + v}dx + \frac{1 - 2vx}{2v + 2u}dy\\ dv = \frac{x + uy}{u + v}dx + \frac{1 + 2ux}{2v + 2u}dy \end{cases}$$

只要让对应项相等就可以了。

如果上升到理论的高度，我们可以这样概括，对于多元的隐函数，通过求全微分，可以得到这样的一组式子

$$\begin{cases} F_udu + F_vdv + F_xdx + F_ydy = 0\\ G_udu + G_vdv + G_xdx + G_ydy = 0 \end{cases}$$

然后一定可以整理成（或者求解成）这种形式：

$$\begin{cases} du = \frac{\partial u}{\partial x}dx + \frac{\partial u}{\partial y}dy\\ dv = \frac{\partial v}{\partial x}dx + \frac{\partial v}{\partial y}dy \end{cases}$$

其他的都是花活。

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三、积分

3.1 莱布尼茨公式

3.2 第一型的积分微元

在这里，如果没有直观化的理解，就很容易忘记第一型的线元或者面元的公式，而且遇到比如参数方程，或者是普通方程组，要是只背了一个公式，就很容易麻爪，所以这一节的目的是直观线元和面元的推导。

线元和面元的推导其实原理都建立于解析几何上，准确的说，是建立在角度上，而角度又与真正的积分微元和法向量或者切向量有关。

对于线元，我们有

$$ds = \frac{dx}{\cos \alpha}$$

其中 dx 可以是 dx，也可以是 dy，是 dt，是啥都行，只要是具体的积分微元就可以，$\alpha$ 是 dx 与 ds 的夹角，那么夹角是怎样求出来的呢，其实就是曲线的切向量与 dx 的内积除以切向量的模长。比如当曲线用参数方程表示的时候，切向量和切向量的模长

$$n = (x^\prime(t), y^\prime(t), z^\prime(t)) ,|n|=\sqrt{x^\prime(t)^2 + y^\prime(t)^2 + z^\prime(t)^2}$$

如果用 dx 做积分微元，那么此时 $\cos\alpha$ 就是

$$\cos\alpha = \frac{x^\prime(t)}{\sqrt{x^\prime(t)^2 + y^\prime(t)^2 + z^\prime(t)^2}}=\frac{1}{\sqrt{1 + y_x^2 + z_x^2}}$$

如果用 dt 作为积分微元，那么此时 $\cos\alpha$ 就是

$$\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{x^\prime(t)^2 + y^\prime(t)^2 + z^\prime(t)^2}}$$

对于面元，同样也有这种思考，即

$$dS = \frac{dydz}{\cos\alpha} = \frac{dzdx}{\cos\beta} = \frac{dxdy}{\cos\gamma}$$

最后还是要落实到求角度的问题，比如 $\alpha$ 就是 dx 与法向量的夹角（这里用了几何知识），所以求这个，其实就是

$$\cos\alpha = \frac{F_x}{\sqrt{F_x^2 + F_y^2 + F_z^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x_y^2 + x_z^2}}$$

3.3 有理函数不定积分

虽然复习了很多遍，但是遇见题还是不会，所以又整理了一遍。

首先需要把有理多项式的积分，首先应该把它化为多项式和真分式的和，在把真分式分解成部分分式的形式，对于部分分式的四种基本类型，都是可以进行积分的。

另外需要强调的是，这种预处理几乎是必须的，它并不像三角函数那样可以跳过，这是必须的。

$$\int\frac{1}{x-a}dx = ln|x-a|+C$$

$$\int\frac{1}{(x-a)^n}dx = \frac{1}{1-n}(x-a)^{1-n}+C$$

$$\int\frac{Mx+N}{x^2+px+q}dx 首先要对分子进行配方，转变成这种形式$$

$$\int\frac{Mu+b}{u^2+a^2}du= \frac{M}{2}\int\frac{d(u^2+a^2)}{u^2+a^2}+b\int\frac{du}{u^2+a^2}=\frac{M}2ln(u^2+a^2)+\frac b aarctan\frac u a+C$$

可以看到，主要利用的是配方法和 arctanx 的微分，这种形式一定要熟悉。

$$\int\frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^n}dx=\frac M2\int\frac{u^2+a^2}{(u^2+a^2)^n}+b\int\frac{du}{(u^2+a^2)^n}$$

现在难点就落在对最后一项的积分上了，这个是需要迭代才能积分出来的。较为复杂。有（这里真的很复杂，首先（1）中那个构造就很反人类，然后（2）中分部积分的时候，居然把分子拆开了，也是不太常见，所以一定要背过）

$$I_n=\int\frac{du}{(u^2+a^2)^n}=\frac 1 {a^2}\int\frac{u^2+a^2-u^2}{(u^2+a^2)^n}du\tag{1}=\frac{I_{n-1}}{a^2}+\frac{1}{a^2}\int\frac{-u^2}{(u^2+a^2)^n}du$$

所以问题的交点又变成了对最后一项的积分，采用分部积分有

$$\int\frac{u^2}{(u^2+a^2)^n}du=\frac12\int\frac{u}{(u^2+a^2)^n}d(u^2+a^2)=\frac{1}{2(1-n)}(\frac{u}{(u^2+a^2)^{n-1}}- I_{n-1})\tag2$$

3.4 多元函数积分变量代换

教材依然是给的不明就里，平白无故出现雅克比行列式，然后平白无故进行代换。我思考良久，决定还是应该从全微分的角度给出推导。

当我们进行多重积分的时候，其实就是对体积微元进行积分，体积微元一般是 dv，但是我们一般用 dxdydz 来近似（其实严格的话是需要证明的），变量代换说的解释将 dxdydz 换成 dudvdw 的过程，虽然两者都是体积微元，但是两个体积微元的大小并不相同，而是需要计算的，那么如何计算呢，很简单，因为微元具有线性性质，只要把这种微元表示成那种微元（就跟换基）一样，然后利用行列式的绝对值是面积或者体积的特性，就可以求出两种体积微元的比值。具体操作如下。

$$\begin{cases} x = x(u, v, w)\\ y = y(u, v, w)\\ z = z(u, v, w) \end{cases}$$

对其求全微分，有

$$\begin{aligned} dx = x_udu + x_vdv + x_wdw\\ dy = y_udu + y_vdv + y_wdw\\ dz = z_udu + z_vdv + z_wdw \end{aligned}$$

这个式子可以理解为换基了，所以可以求出比值就是基变换行列式的值。

$$\begin{aligned} |J| = \left|\begin{matrix} x_u & x_v & x_w\\ y_u & y_v & y_w\\ z_u & z_v & z_w \end{matrix}\right|\\ dxdydz = J \cdot dudvdw \end{aligned}$$

这就是根本原理。

另外说一下书上的标记，书上有如下记号

$$\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)} = \left[\begin{matrix} x_u & x_v & x_w\\ y_u & y_v & y_w\\ z_u & z_v & z_w \end{matrix}\right]$$

常见的雅克比行列式的值，有柱坐标系的 $r$ ，还有球坐标系的 $r^2\sin\phi$ （phi 是 0 到 pi 的那个），极坐标系的 $r$ 。

3.5 三个积分公式

$$\oint_L Pdx + Qdy = \iint_S \left | \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\ P & Q \end{matrix} \right | dxdy$$

格林公式可以用于将二重积分转换成第二型曲线积分（就是普通积分），需要通过简单构造：

$$S = \frac{1}{2}\oint xdy - ydx$$

$$\oint_L Pdx + Qdy + Rdz = \iint_S \left | \begin{matrix} dydz & dzdx & dxdy \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{matrix} \right |$$

$$\oiint _S Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = \iiint_V (\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z})dxdydz$$

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四、解析几何

4.1 切向量和法向量

这个章节我已经总结无数次了，但是每次都忘，实在是没有办法了。只好再次写一次了，就很无奈。

4.1.1 求垂直于两个向量的第三个向量

我们都知道可以用形式行列式来求解，就是这样：

$$\left[ \begin{matrix} i & j & k\\ x_1 & y_1 & z_1\\ x_2 & y_2 & z_2 \end{matrix} \right]$$

最后求解出来就是这样（用 n 表示法向量，因为 n 是 normal vector 的意思）

$$n = (y_1z_2-y_2z_1, x_2z_1-x_1z_2,x_1y_2-x_2y_1)$$

但是其实这个并不本质，最本质的是用的是当两个向量垂直时，他们点乘为 0 这个性质，列出两个式子，这样：

$$\begin{cases}x_1x+y_1y+z_1z = 0\\x_2x+y_2y+z_2z = 0\end{cases}$$

然后这个再转换成一个矩阵相乘的形式

$$\left[ \begin{matrix} x_1 & y_1 & z_1\\ x_2 & y_2 & z_2 \end{matrix} \right]\cdot n = 0$$

n 对应一个基础解系。然后最对称的一个就是上面那个用形式行列式解出来的那个。

4.1.2 已知法向量求过定点的平面

这个其实也是垂直的向量点乘等于 0 的应用，因为是法向量，所以他应该与平面内的任何一条直线垂直，所以我们利用这个性质，可以列出一个等式

$$n\cdot\left[\begin{matrix}x-x_0\\y-y_0\\z-z_0\end{matrix}\right] = 0$$

如果要是将其写开，可以整理成很漂亮的形式，如下

$$x_nx+y_ny+z_nz = x_nx_0+y_ny_0+z_nz_0$$

正因为如此，当我们看见一个一般平面的时候，可以很轻易的写出他的法向量。

$$Ax+By+Cz+D=0,n=(A, B,C)$$

4.1.3 参数方程表示的曲线的切向量和法平面

其实最自然的是曲线方程就是参数方程，尤其是那种带 t 的，t 最好是曲线的长度，然后 x，y，z 是 t 在三个面上的投影，简直完美，所以对于，我们可以很容易想到，当参数方程式这样的

$$\begin{cases}x = x(t)\\y = y(t)\\z = z(t)\end{cases}$$

他的切向量是

$$n = (x^\prime(t),y^\prime(t),z^\prime(t))$$

然后根据 4.1.2 的内容，可以求它的法平面

$$x^\prime(t_0)x+y^\prime(t_0)y+z^\prime(t_0)z=x^\prime(t_0)x(t_0)+y^\prime(t_0)y(t_0)+z^\prime(t_0)z(t_0)$$

4.1.4 对 “方程组表示的曲线的切向量和法平面” 书上解法的批判

方程组表示的曲线长成这个样子

$$\begin{cases}F(x,y,z) = 0\\G(x,y,z)=0\end{cases}$$

可以看出，远远没有参数形式直观，那么应该怎么办呢？书上给了一种我要批判的方法，这种方法就是强行将其转换为参数方程然后套用 4.1.3 的形式，具体说来，就是把 x 看为参数，然后就可以这样

$$\begin{cases}x=x\\y=y(x)\\z=z(x)\end{cases}$$

那么 $y^\prime(x),z^\prime(x)$ 怎么求呢？当然是隐函数求导了（这个也是要批判的点，具体原因见 2.1），可以获得一个方程组

$$\begin{cases}F_x+F_yy^\prime(x)+F_zz^\prime(x) = 0\\G_x+G_yy^\prime(x)+G_zz^\prime(x) = 0\end{cases}$$

然后书上最骚的是，居然还不老老实实解，还非得用一下克莱姆法则（还是先给结论，后给推导，都不知道这俩其实是一种方法）

$$\left[\begin{matrix}F_y & F_z\\G_y & G_z\end{matrix}\right]\cdot \left[\begin{matrix}y^\prime\\z^\prime\end{matrix}\right]= -\left[\begin{matrix}F_x\\G_x\end{matrix}\right]$$

然后就可以解出来了，其他就梳理成章了。

4.1.5 曲面的直观理解

在 4.1.2 中，我们在最后介绍了如何从平面的方程观察性质（法向量）。现在介绍一下面对曲线方程，如何求法向量。

这其实还是建立在对曲面的直观理解上，我个人感觉，应该将平面方程更换为这个

$$F_xdx+F_ydy+F_zdz=0$$

这个接近以直代曲的思想，考虑平面，有

$$Ax+By+Cz+D=0$$

那么将 x,y,z 换成 dx，dy，dz，就是将一小片曲面看成平面，此时这个平面的法向量就是 $(F_x,F_y,F_z)$ ，然后往上积分，就可以得到

$$F(x,y,z) = C$$

这就是我们熟悉的曲面的一般形式。

总结一下，就是有了这个直观感觉，当给定一个曲面方程的时候，就可以写出它在任一点的法向量 $(F_x,F_y,F_z)$。

4.1.6 直观化方程组表示的曲线

有了 4.1.5 的基础，我们就可以对方程组表示的曲线有了一个更深的理解，我们首先将方程组写成这个样子

$$\begin{cases}F_xdx+F_ydy+F_zdz=0\\G_xdx+G_ydy+G_zdz=0\end{cases}$$

也就是说，所谓曲线，就是在任意点 (x,y,z) 都保证他的（dx,dy,dz）与两个平面在此点的法向量都垂直（因为直线同时在两个面上），这样，就是 (dx,dy,dz) 是法向量，那么两个方程解三个未知量，刚好符合法向量的定义（定方向，不定长）。

然后解完法向量以后，就可以再求切平面了。

4.1.7 参数方程的曲面的切平面和法向量