数学分析 - 傅里叶级数

一、总论

最重要的一点是，傅里叶级数不是傅里叶展开，由 $f(x)$ 生成的傅里叶级数可能跟原来的 $f(x)$ 不相等，没啥大联系，就像泰勒级数也不一定等价于原函数，只能在收敛半径内等价一样。只有理清了这一点，才知道我们看待傅里叶级数的角度。

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二、生成傅里叶级数

生成傅里叶级数用的是类似施密特正交化的方法，这个方法可以把一组线性无关的向量，转换成一组线性无关且正交的向量，其实可以将 $f(x)$ 看做一个向量（函数），由一大堆不知道多少个，也不知道是什么的其他向量（函数）组成，但是可以用一组由相互正交的三角函数组成的向量组（函数组）来代替他们，代替的过程中就写出来了。

那我们先看一下函数的正交和三角函数的正交。函数的正交被定义为为当

$$\int_a^bf(x)g(x)dx=0$$

时，$f(x)$ 与 $g(x)$ 正交，这里需要注意，a,b 值的确立是随便的，随便给个值都可以定义正交，然后都可以进行施密特正交化。但是我们说，对于三角函数来说当 ab 刚好差周期倍数的时候，三角函数会呈现很好的性质，因为最小正周期最大的是 $\sin x,\cos x$ 所以我们一般取 $a=0, b=2\pi$ 或者 $a=-\pi,b=\pi$ 两者并没有任何不同，可以放心大胆的使用。

当确定 ab 的值后，我们发现，当 $\sin mx,\sin nx$ 的 m 与 n 的值不等，两个函数不正交，于是我们就可以推导出如下展开

$$f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$

$$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\cos nx dx$$

$$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\sin nxdx$$

还是要再次强调，这是生成而非相等。

对于更加一般的周期函数，我们有公式

$$f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$

$$a_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(x)\cos n\frac{2\pi}{T} xdx$$

$$b_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(x)\sin n\frac{2\pi}{T} xdx$$

这样给出的一般公式要比用代换给出的更加自然，代换忽略了施密特原理，只是单纯的数学推导，所以记忆起来有难度。

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三、傅里叶级数的性质

傅里叶级数的性质时相当好的，当 $f(x)$ 是分段光滑的，他在连续处一般都是等于 $f(x)$ 的，只有在 $f(x)$ 间断点会等于两侧 $f(x)$ 左极限和 $f(x)$ 右极限的平均值，将这两种情况概括一下，即：

$$\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)=\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}$$

上面这个定理是很好使的，但是还不够抽象，在书上的 13.2 详细讨论了傅里叶级数的性质，概括一下就是 —— 只讨论了且详细讨论了逐点收敛性质，其他性质如一致收敛、可积、可导都没有讨论。逐点收敛的性质时建立在绝对可积和可积的条件上的，大概是一个很弱的条件。