钟鼓楼

气体动理论是统计物理学的部分内容，那么是怎么体现统计的呢？

每个运动着的分子都有大小、质量、速度、能量等，这些用来表征个别分子性质的物理量的叫做微观量。一般在实验中测得是表征大量分子集体特征的量，叫做宏观量，气体的温度、压强、热容等就是宏观量。气体动理论就是运用统计方法，求出大量分子的某些微观量的统计平均值，并用以解释在实验中直接观测到的物体的宏观性质。

数理统计首先要做的，是分清两种随机变量，一个是总体的分布相关的数字特征，另一个是我们根据取样产生的随机变量序列构造出的特殊的随机变量统计量。

我们用样本研究总体，其理论依据来源于概率论，当一个事件的概率大，那么我们就认为这件事情是真的。

标准分布是一个重要的思想。

在这一章里，我会进行大量的我个人色彩浓重的不严谨规范和定义，是因为以我的能力，还不足以严谨的把事情说清楚。

之前章节介绍的概率论，只是一个数学的空中楼阁，我们要想办法让其与客观世界产生联系。

产生联系的方法就是通过一个新的概念随机序列，也就是对同一个试验的重复进行（这个挺显然的），随机序列会产生一组随机变量（也可以看做一个随机向量）。但是这是第一步，然后我们利用随机序列构造一个新的随机变量，构造方法就是我们对数据组的处理方法，比如我们对数据组求平均值，那么我们构造的这个随机变量就是所以随机变量的求平均。然后对这个新的随机变量的性质展开研究。

也就是说，我们通过构造这种数学方式，模拟了现实中的数据处理方式，为由理论指导现实奠定了基础。比如说中心极限定理，就是一个理论指导现实的例子。

但是另一方面，现实需要为理论提供参照，借助的就是大数定理，大数定律支持了将现实中获得的频率近似为概率的做法。

在前面几章，我说关于随机变量，一个重要的是判断是分布类型，另一个是参数，现在可以将参数改为数字特征了。

之前我还像把分布作为一个更高层次抽象出来理解，但是现在看来随机变量可以完全支配其他概念，应该是我的理解不到位了，随机变量是一个更为宏大普世的概念。

在许多实际问题中，一般并不需要分布函数，只需要知道随机变量的某些特征就够了。如果这个角度来看，随机变量应该不是一个仅仅服务于概率论的概念，他应该是在统计学中也有应用。

之前我一直想的都是随机变量是建立在概率空间 $(\Omega, F, P)$ 上的一个分支或者应用，但是如果换一种角度思考，将随机变量看成一个完整的体系，然后在利用随机变量的映射本质沟通这两个体系，或许是一种好的理解方法。之前的理解过度关注随机变量的映射功能，而对其函数特性的讨论较为疏忽。

也就是说，将离散变量看成抽象的数据组，然后分析它的分布类型和数字特征，最后将某个试验的事件与它进行映射对应。

相关性（线性相关性）的本质是 $P(Y = aX + b) = 1$

随机变量的函数就是说通过函数映射的形式，将原来的一个或者多个随机变量放进函数里，然后得到一个新的随机变量。这里主要是分成了两种类型，一个是一元函数，另一个是多元函数（基本上都是二元函数）。这两种函数因为诞生的意义的不同，所以在研究方法和其他方面里都存在明显的差距。

对于一元函数，我觉得最漂亮的是关于标准分布的构造。这个思想是我见过构造性最强的数学应用，总之就是很漂亮的构造。

对于二元函数，会涉及到两个随机变量的相互作用，所以应用的数学工具会更加强大，比如说卷积，线积分，可以说是另一个层次的美感。

我们依然秉持前一章的思想，对离散型变量和连续性变量进行分类讨论。

希望用数学分析的知识沟通分布函数和密度函数遇到了困难，不如直接理解密度函数来的简洁。

理解离散型向量的分布律要远比理解连续型向量的简单而且直观。

独立的意思是一个变量在任何取值下，都包括另一个变量的所有情况。