钟鼓楼

有些东西可能是离散数学这门学科的通病。相比于高数或者线代，有一定在物理上的应用场景，而且其精神，比如说无穷，比如说代数系统，很容易被理解，而且很容易为我所用。离散这门学科没有一个中心，没有一个明确的思想（也可能是我没有发现），没有具体的应用场景（可能在算法里有用吧），学科的体系感也不强（可能是我接触的比较浅的缘故）。正因为如此，图论才如此难学，而且我参考了三本书，有的时候三本书对于同一个定义都具有不同的诠释，这更使我觉得，我没有搞清楚离散到底在研究什么？这个核心问题，许多困难与辨析，都是因为诸多“表象”，而通过表象洞彻本质，才能从万变中发现永恒。而这些都是我没有做到的，所以我写下了这篇文章，希望可以边写，边领悟其中的真意。

图的最本质内容是一种二元关系。

为了直观形象地理解图的结构和性质，总是用图形来表示一个图。

这句话是否说明，“图并不本质”，我们去对一个客观事物建模的时候，不应该先用他是不是一个图来考量，而是应该用他是不是一个二元关系来考量。这或许是一个很好的点。

图作为一个数学概念，其可以用来描述的客观事物一定是不胜枚举的。但是仅仅用图去描述现实中的地图、人际关系网，是不是有点形而下学了。如果用图俩描述流程图，或者解题图，会不会别有一番天地。突然想到，马尔可夫链也可以看做是图的一个应用，每一个随机过程，对应一个路径。

王兵山三元组图一生黑！！！

我们引入条件概率，最重要的原因是因为在客观世界中，有的时候我们获得不了普通概率，只能获得条件概率。

条件概率就是限定了条件，然后再讨论在固定的条件下，某件事情发生的概率。

在引入了条件概率之后，我们才有了独立性的概念，这些都是可以直观化的。

之所以在这一章介绍马尔科夫链，因为马尔科夫链中出现了大量条件概率。而且十分体现条件概率的思想。

马尔可夫性是命运的凌迟。时齐性是历史的嘲弄。初始分布是预言的收官。

一、总论

傅里叶变换是非常著名的一种算法，它完成的是一个由时域函数（也就是以时间 $t$ 为自变量）到频域函数（也就是以频率 $f$ 为自变量）的映射。

如果这么说可能非常难以理解，这是因为我们无法直观认识时域函数和频域函数具体指什么。我们可以将时域函数理解成一个非常“自然”的函数，也就是说，它是一种“原始数据”，典型的时域函数比如说，当人耳听到声音时，我们可以收集一个耳膜振幅随着时间变化的函数，如下图所示：

这种函数就是时域函数，但是这种时域函数非常不能体现事物的本质特征。比如说我现在问你，你能通过上面这幅图来判断这个声音的音调吗？显然是不能的。但是通过傅里叶变换，我们可以将它转换成一个频域函数，如下所示：

应该说，我们去看随机过程的时候，具有两条线索，一条是纵向来看，即给定事件 $e_0$ ，获得的是样本函数；另一条是横向来看，即给定参数 $t_1$ ，获得是在 $t_1$ 时刻的一个随机变量。我觉得随机变量比较好理解。但是我同时也觉得，对于样本函数要是能有一个更加深入的理解，那么对随机过程的理解才能更上一层楼。

我觉得，样本函数也可以看做一个特殊的随机变量。随机变量的观测值本来应该是一个实数，但是我们的随机过程的观测结果是一个函数，也可以理解为一个过程。

我在做题的时候，还是横切应用的多一些，比方说分析数字特征的时候，自相关函数和自协方差函数都是选定了 $t_1,t_2$ 类似于选定了两个横切面研究性质。但是话还没说满，感觉还有进一步理解的可能，比如没有给定 $t_1,t_2$ 的值。

或许达到一种 “涵虚混太清” 的感觉才是正解。有言道：“随机过程随机过，实变函数学十遍，计组原理成组寄，汇编语言不会编。”

作为大二唯一一次外出游玩，必须写篇博客纪念一下。

这个故事是一个不能吃辣、不能喝酒、无趣还迷路的人寻找一家可以下嘴的馆子和他的倒霉朋友的奇妙冒险。

所有教材都是按照时间顺序介绍的，但是这样真的是认识量子力学的好方式吗？我觉得不一定，比如说介绍普朗克常量的时候，介绍了一大堆关于热辐射和黑体的概念，其实跟最关键的概念普朗克常量没有很明显的联系。再比如先介绍了波尔的原子模型，但是波尔做的很多理论都是假设，那么这些假设其实都是可以基于薛定谔方程得到推导。所以或许教材组织知识的方式存在一定的问题。

本章最大的阅读问题，就是有很多与量子力学理论体系毫不相干的东西，也必须要学，比如热辐射、光电效应、氢原子光谱。

认为能开发出一套理论，使得所有的东西，包括微观粒子，光子，电磁波都适应，虽然之前我就是这么想波粒二象性的，但是这大概是一种狂妄的表现。所以这篇文章的思路是承认粒子和波有明显的界限，只是波粒二象性使其具有了彼此的一些性质。物质波与波的区别，就好像鲸鱼与鱼区别。

这章主要分为两条线，一条是光的粒子性，包括

• 热辐射现象，普朗克对黑体辐射的现象做出了自己的量子化解释，进而引入了普朗克常量。
• 光电效应，爱因斯坦提出光也具有粒子性，应用了普朗克常量
• 康普顿效应，爱因斯坦光子论的一个应用，至此，粒子性已经全部介绍完毕

另一条线是微观粒子的波动性

• 从德布罗意天才的构想开始，提出了物质具有波动性，并且给出了如何计算物质波的波长和频率
• 薛定谔方程利用了德布罗意的思想和公式，提出了奠基公式，薛定谔方程，这个方程可以解出一个波函数，这个波函数就是波动性的体现
• 不确定性原理，物质波具有了这个本应只在经典波中出现的现象
• 氢原子的电子：在德布罗意提出物质具有波动性之前，波尔就做出了启发性的假设，解释了氢原子光谱，但是相应的理论不是很完善，在引入薛定谔方程以后，可以得到很好的理论诠释