基物实验 - 数据处理

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这节里面有很多的公式，都是没有办法短时间考场推导的，不知道需不需要记忆。

因为高中的时候有这方面知识，所以忽视了这一章的学习。但是这一章补充的关于线性回归法和逐差法的不确定度分析，是之前没有接触过的。

无论是一元线性回归法，还是逐差法，都避免了用间接测量法通过构造函数来将直接测量量转换成间接量的传统方法。但是不可避免的，还是要分析不确定度。

一、列表法

注意事项：

  • 表格的标题栏中注明物理量的名称、符号和单位。
  • 数据要正确反映测量结果的有效数字

二、图示法

注意事项：

  • 一定要用坐标纸作图。
  • 至少应该保证坐标纸的最小分格，要与实验数据的最后一位数字对应。
  • 实验数据点以 "+,×,Δ+,\times,\Delta" 等符号标出，不可以使用细圆点 “⋅\cdot” 来标识数据点。
  • 用直尺或者曲线板来讲数据点连成直线或者光滑曲线。试验点匀称的分布于曲线两侧。
  • 光滑处理的原则不适于绘制校准曲线。
  • 图示法可以用于求直线图形的斜率和截距，需要注意在拟合直线上取点，两点的间隔要远一些。

三、一元线性回归法

3.1 基本假设

假定在等精度测量中，只有因变量 yy 有误差，自变量 xx 作为准确值处理。即忽略 xx 的测量误差和对 yy 进行等精度测量。

所谓等精度测量，是指在整个测量过程中，如果影响和决定误差大小的全部因素 (条件) 始终保持不变，比如由同一个测量者，用同一台仪器、同样的测量方法，在相同的环境条件下，对同一被测量进行多次重复测量的测量方法。

3.2 斜率与截距

斜率和截距按如下公式计算（应用最小二乘法得出，其实就是一个简答的求偏导）

b=xyˉ−xˉyˉx2ˉ−xˉ2b = \frac{\bar{xy} - \bar{x}\bar{y}}{\bar{x^2} - \bar{x}^2}

a=yˉ−bxˉa = \bar{y} - b\bar{x}

3.3 相关系数

r=xyˉ−xˉyˉ(x2ˉ−xˉ2)(y2ˉ−yˉ2)r = \frac{\bar{xy} - \bar{x}\bar{y}}{\sqrt{(\bar{x^2} - \bar{x}^2)(\bar{y^2} - \bar{y}^2)}}

3.4 yiy_i 的不确定度估计

因为是等精度测量，所有的 yiy_i 的不确定度应该相同，应该具有相同的标准差，如果没有，那么就应该采用有限次测量的标准偏差作为估计值。

s(y)=∑[yi−(a+bxi)]2n−2s(y) = \sqrt{\frac{\sum[y_i - (a + bx_i)]^2}{n - 2}}

注意这里自由度变成 k−2k - 2 了，我没弄明白为啥，据说是 “用回归值代替真值时，用到了 a,ba,b 两个参数，所以自由度减 2”。

3.5 回归系数不确定度估计

A 类不确定度

ua(b)=s(b)=b1n−2(1r2−1)u_a(b) = s(b) = b\sqrt{\frac{1}{n - 2}(\frac{1}{r^2} - 1)}

ua(a)=s(a)=ua(b)x2ˉu_a(a) = s(a) = u_a(b)\sqrt{\bar{x^2}}

B 类不确定度

ub(b)=ub(y)1n(x2ˉ−xˉ2)u_b(b) = u_b(y)\sqrt{\frac{1}{n(\bar{x^2}-\bar{x}^2)}}

ub(a)=ub(b)x2ˉu_b(a) = u_b(b)\sqrt{\bar{x^2}}

四、逐差法

注意，我们首先约定，一共有 nn 组数据。（而不是教材中的 kk 组）

4.1 逐差公式

我们约定 n=2kn = 2k 或者 n=2k−1n = 2k - 1（如果是奇数的话，逐差的时候舍去最中间的那一项） 。然后有中间变量 bi,Δkyi,Δkxib_i,\Delta_ky_i,\Delta_kx_i

bi=yk+i−yixk+i−xi=ΔkyiΔkxib_i = \frac{y_{k + i} - y_i}{x_{k+i} - x_i} = \frac{\Delta_ky_i}{\Delta_kx_i}

求斜率

bˉ=1n∑i=1kyk+i−yixk+i−xi\bar{b} = \frac1n\sum^k_{i = 1}\frac{y_{k + i} - y_i}{x_{k+i} - x_i}

求截距

aˉ=1n(∑i=1nyi−bˉ∑i=1nxi)\bar{a} = \frac1n(\sum^n_{i = 1}y_i - \bar b\sum^n_{i = 1}x_i)

求不确定度

u(b)=bˉ[u(Δkx)Δkx]2+u(Δky)Δky]2u(b) = \bar{b}\sqrt{[\frac{u(\Delta_kx)}{\Delta_kx}]^2+\frac{u(\Delta_ky)}{\Delta_ky}]^2}

u(Δky)=ua2(Δky)+ub2(Δky)u(\Delta_ky) = \sqrt{u_a^2(\Delta_ky) + u_b^2(\Delta_ky)}

u(Δkx)=ub(Δkx)u(\Delta_kx) = u_b(\Delta_kx)

ua(Δky)=∑i=1n(Δkyi−Δkyˉ)2n(n−1)u_a(\Delta_ky) = \sqrt\frac{\sum^n_{i = 1}(\Delta_ky_i - \bar{\Delta_ky})^2}{n(n - 1)}

4.2 逐差理解

应该会使 B 类不确定度急剧减小。