一、函数列和函数项级数的收敛性质

1.1 函数列和函数项级数的定义

函数列指的是 ${S_n(x)}$ 这样的序列，等价于数列，而函数项级数指的是将函数列${u_n(x)}$进行累加得到的 $\sum u_n(x)$ ，等价于数项级数。虽然我们一般都有等式 $S_n(x)=\sum^n u_k(x)$，讨论收敛性，或者是收敛后的分析性质时，描述的东西本质上是一样的，但是在处理方法上大有区别。比如说对于函数列的一致收敛，我们一般用 $\beta$ 上界判别法，或者用柯西收敛原理。对于函数项级数的一致收敛，我们一般用Dirichlet判别法或者Abel判别法或者柯西收敛原理进行判定，如果判定不了，还可以对函数项级数进行求和转化成函数列（这点尤为重要）。所以区分函数列和函数项级数是很有必要的。

1.2 逐点收敛

应该意识到最重要的事情：逐点收敛是数的收敛，一致收敛是函数的收敛。但是即使这么说也要强调，收敛、绝对收敛、条件收敛描述的都是数项级数，也就是说描述的是逐点收敛，而不是一致收敛。再详细的说，收敛就是逐点收敛，千万不能产生概念辨析上的困难。要想学好这一章，最重要的就是区分这些概念的辖域。

数项级数

一、数项级数的敛散性质

1.1 求和

这是最基础的运算，但是却常常被忽略。因为其实这一章的问题是两步，第一步是判断级数是否收敛，由此演化出各种判别方法，出题一般也围绕这个方面进行设置；第二步是指出级数收敛到哪里，这个不是每个级数都有答案，但是如果直接解决了第二步，那么第一步就显得十分显然，但是就很少被我利用。

关于求和的方法，我会在基本功这篇笔记中进行讨论，就不在此赘述了。

一、求极限

1.1 先化简

对于x趋于0，$e^{-x^2}$ 这种复杂的结构其实就是1。

1.2 减法式子化乘法

对于x趋于0，$\sqrt{1-x^3}- 1$ 当然要化成乘法了，这个其实是用广义二项式定理做的，属于等价无穷小，或者泰勒级数。

一、数理逻辑总论

1.1 形式

“Logic is about the form of things, but not the things themselves.”

逻辑=语法+语义，但是并非像自然语言一样，语义占据了统治地位，而语法只起辅助作用。恰恰相反，逻辑更关注语法，即形式。罗素说，数理逻辑是数学中的数学，也就是元数学，它试图构建一个基础，用来支撑庞大的数学体系。从这个角度来看，关注语法，确切的是形式，是十分必要的，因为这个元数学必须适用于所有的数学理论，那么仅仅局限与一个体系的语义，没有办法做到适用于所有体系。就好像数学对客观世界的抽象，如果只纠结于1怎么写，1+1=2的问题，数学是没有长足发展的，只有提炼出未知数x这种可以代表一切自然数的东西，才能使数学的概括能力有所提高。我们也可以说，x是某个特定自然数，比如1，的形式。就像现在的数理逻辑是比如数论、欧式几何的抽象，所以过于纠结于语义的现象就像在问“x+1里的x是多少一样？“没有意义。

1.2 定义形式

一、对比

1. 命题逻辑是研究不同简单命题间关系的，但谓词逻辑是研究简单命题内部结构的，是更加深入的考察。

2. 命题逻辑形成的公式只需要赋值就可以确定真值，但是谓词逻辑就不行。这是因为谓词逻辑将简单命题拆为量词、主词、谓词。量词和主词要求指明论域，谓词要求指明具体含义。这些都使原来 p=1 的简单事情变成了 $\forall xP(x,f(a))=1$ 的复杂事情。我必须规定论域、谓词含义、常元值（命题逻辑中只有1和0，还被零元联结词的概念掩盖了，但是这里的a可以取一大堆值。本质是命题逻辑中的常元代表一个命题，而谓词逻辑里的a代表一个个体）、函数符号含义（在命题逻辑中不会出现普通函数，因为普通函数属于命题内部，命题逻辑不研究）。这就是解释存在的意义。

3. 赋值也有不同，在命题逻辑中赋值，是将命题变元赋成0或1。在谓词逻辑中，是将自由变元赋成论域中的某个个体，说不定是苹果还是西瓜呢。

二、直观理解

1. 谓词可以有两种理解，对于一元谓词，可以理解为他描述了主体的一种性质。对于多元谓词，可以理解为不同主词间关系的描述。进一步来讲，对于关系来讲，大多关系都是可以用一个相等关系或者不等关系表达的。这些类方程可以简化思考，还便于找反例。一整个公式就像一个方程组一样。

2. 永真式和等值演算紧密联系，两者可以说是逻辑中最重要的部分。即恒等变形。

3. 逻辑中概念很多，对晦涩的概念应当有以下认识：

   • 有些概念难是难在书写形式没有具体定义，这种搞懂就好了，要是老师书写也不规范，没必要纠结。比如赋值，推论。

   • 有些概念为了更加“数学”，所以不近人情，这种概念不可纠结。比如联结词。

   • 有些概念就为了使要描述的其他定理和定义更加简洁，本身没有存在的必要。比如初等公式，其提出可能只是为了更好的描述重言式。

   • 有些概念理解懂了基本含义不是结束，一定要理解概念提出是为了解决什么问题的，通俗的解释这个概念描述的现象，这才是正确方式。比如许多定理、某些等值演算。
   • 有些概念现在觉得画蛇添足，其实是为了后面的知识铺垫，所以不必纠结，有些概念理解不了，不如塌下心来做些题，在题中理解概念。

4. 我们分析一个公式，应当有两方面的意识：

   • 语法：具体的有代换
   • 语义：具体的有赋值

三、书写规范

一、命题与联结词

1.1 联结词的向量值函数理解

可以将联结词理解成一个n元函数，完成的是将 ${0,1}^n$ 到 ${0,1}$ 的映射，特别的，如果当n等于零的时候，可以预见，联结词函数退化成了一个常值函数，也就是 0 和 1 。所以 0 和 1 也被称为零元真值函数。

1.2 联结词的运算符理解

其实联结词还可以理解为运算符，比如合取就是变种的乘法，异或就是变种的加法，更往深里说，应该是运算符就是一种向量值函数。