期中物理总结
一、数学知识
1.1 向量知识
1.2 积分知识
$I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}$ $I_1=1$ $I_0=\frac{\pi}{2}$
二、质点运动学
2.1 经典力学速度合成公式
$u(t)$ 是动系相对于静系的瞬时速度，简称之牵连速度。
2.2 角速度
这个公式不仅能判别v的方向：将叉乘的第一个量的方向指向手心，四指向叉乘第二个量的方向弯曲，大拇指指的方向就是结果向量的方向。其实只要把这三个量写成一个环，那么任意两个量方向已知，就可以判定第三个量的方向。比如让r指向掌心，四指向v的方向弯曲，大拇指指的方向就是w的方向。
直观理解：当顺时针转动时，$\vec{w}$ 的方向竖直向上；当逆时针转动时，方向竖直向下。
2.3 自然坐标系
$e_\tau$ 是单位切向量，$e_n$ 是单位法向量。对切向量 $e_\tau$ 求导会得到 $e_n$，但是对法向量 $e_n$ 求导，却会得到 $-e_\tau$。
三、牛顿力学的基本规律
3.1 力学相对性原理
伽利略将其概括为力学规律对一切惯性系都是等价的，这会在最后被爱因斯坦推广为物理规律对一切惯性系都是等价的。
3.2 科里奥利力
首先应当明确，科氏力在现实中有诸多现象，但是为啥它这么给我感觉不自然呢？这是因为我总下意识的认为地面是一个惯性系，实际上地球不断自转，我们是处在一个转动的非惯性系下，就像在一个过山车上或者一个海盗船上，力学规律并不像在平地上那么自然，但是这就是事实。我们只要一相对地面移动，就会受到科氏力，这是事实。
四、动量变化定理与动量守恒
五、机械能变化定理和机械能守恒
5.1 保守力和保守力场中的势能
做功与路径无关的力称为保守力，常见的保守力有重力、引力、弹力、库仑力。保守力做功也可描写为：沿任意闭合环路保守力做功为零。
因为保守力做功的大小只与运动的起始和终止位置有关，所以我们对物体某一刻运动的描述（包括位置和速度）就可以概括出一个新的不变量，即动能和这个量的和，这个量被称为势能。势能和动能的和被称为机械能，就是我们寻找的那个守恒量。
但是机械能不一定时时刻刻都是守恒的，因为在保守力场中运动的物体还可能受到非保守力的作用，比如摩擦力、推拉力、支持力，运动物体的机械能改变量等于非保守力所做的功，这被称为机械能变化定理。相应的，当物体运动时，不存在非保守力或者保守力不做功，那么机械能是守恒的，被称为机械能守恒定律。
5.2 三种宇宙速度
应当有意识，第二和第三宇宙速度都是在机械能为0的情况下解出来的，只不过一个是相对于地球，一个是相对于太阳。那么在进一步讲，其实速度并不满足机械能为0，因为还有其他天体的引力势能，用第二宇宙速度脱离地球以后，飞船会被太阳的引力势能束缚，成为太阳系人造天体，用第三宇宙速度脱离太阳以后，飞船会被银河系其他天体束缚，成为银河系人造天体，有心力场可以叠加，势能也可以叠加。
5.3 恢复系数与约化质量
这是一维对心正碰动能亏损的计算公式。
其中 $e$ 是恢复系数，数值定义式如下，其数值仅有材料物性来决定，所以恢复系数可以用来度量材料的弹性，是一个小于等于1的数值，恢复系数为0.8的材料弹性要比恢复系数为0.6的材料弹性好。
$\mu$ 是约化质量，将多次出现在两体问题中。
5.4 二维碰撞散射
速度方向不同的两个质点的碰撞，或两个弹性球的非对心碰撞，将呈现散射图像，碰撞是必然共面的。
六、角动量变化定理与角动量守恒
6.1 角动量
角动量被定义为位矢与动量的叉乘，应当注意到，角动量的方向是与角速度方向相同的。此外，还应知道，用角动量描述运动次序注意其是对哪个参考点而言的。
6.2 力矩
力矩被定义为位矢与力的叉乘。存在力 $F$ 而 $M=0$ 的条件，可以是
$r=0$
$\alpha=0 ||\alpha=\pi$
所以对于有心力场，参考点一般选为力心，这样保守力矩为0，较易分析。
6.3 角动量变化定理
可以看到，角动量的改变量等于力矩对时间的积分，角动量对时间的微分等于力矩。当力矩为零时，角动量守恒。在运用角动量变化定理时，角动量与力矩必须是针对同一参考点而言的。
6.4 有心运动守恒
凡两体相互作用力具有 $F\propto r^ne_r$ 形式，皆系有心力场。因为有心力场是一个保守力场，所以物体的机械能守恒，同时，有心力与位矢平行或反平行，所以角动量守恒。分析有心运动应该从这两个方程展开。
角动量守恒具有两个推论：平面轨道、掠面速度不变。平面轨道是因为角动量的方向不变，所以轨道必须限制在一个平面内（这个平面包括速度和位矢）。掠面速度不变推导如下：
七、质心力学定理
7.1 分析质点组运动的一种新视角
首先着眼于把握质点组的总体运动，再分析各质点之间的相对运动。即我们将质点组的复杂运动分解为两种运动的叠加。质点组的质心及其运动就可以作为质点组总体运动的代表。
7.2 质点组动量、角动量变化定理
一对内力的动量和和角动量和都为0。质点组的动量改变量等于合外力的冲量。质点组的角动量改变量等于合外力角冲量。
7.3 质心参考系
质心系是随质心一起平动的参照系，一般选质心为参考点。质心系可能是一个惯性系，也可能是一个非惯性系。在质心系中，质心速度恒为0。引入质心参考系是为了分析的下一步，即用质点组概括宏观运动、然后各个质点相对质心分析。
7.4 质心动量定理
这个公式就是在假想在质心位置有一个等于质点组全部质量的质点，尽管不一定真的有。
质心动量的改变量就等于合外力的冲量，如同将全部合外力合成一个力，作用于质量为 $\sum m_i$ 且在质心位置的质点上。
在质心参考系下，质点组的动量恒为0。
应该意识到，动量和速度的联系十分紧密，题目中往往问质心的速度，但其实就是在问质心的动量。
7.5 质心动能定理
7.5.1 科尼希定理
质点组的总动能等于质心动能与相对质心动能之和。
7.5.2 两体动能公式
其中 $\mu$ 是约化质量，$v_r$ 是相对速度。
用这个公式可以导出碰撞动能亏损公式。
7.6 质心角动量定理
7.6.1 质点组角动量等于质心角动量和相对质心角动量之和
这个形式跟动能柯尼希定理的形式很像，但是与动量不同，动量的表述是：质点组的总动量等于质心动量。
7.6.2 质心角动量变化定理
质心角动量的变化就等于合外力集中于质心时产生力矩的冲量，与单质点情况相同。
7.6.3 相对质心的角动量变化定理
也就是说，即使质心相对于惯性系有加速度，质心系非惯性系，公式依然成立。有了这个定理，我们就可以进行两步的分析。第一步，先用质心角动量变化定理求出质心的状态（一般都是为0或者守恒），第二步，用相对质心的角动量变化定理来求出相对质心的质点组的运动状态，因为这个比较好求。最后将运动理解成两种运动的合成。
八、刚体力学
8.1 刚体运动学
8.1.1 刚体运动的自由度
用以确定对象运动位置的独立坐标的数目，简称为对象运动的自由度。物体运动的自由度m，决定了其独立的动力学微分方程的数目，一共有m个，每一个方程均是二阶微分方程，若运动被限制或者约束，其自由度就会减少，多一个约束条件，就减少一个自由度。
对于刚体运动来说，其运动可以被拆解为平动和转动两部分，平动的部分可以用位置坐标（x，y，z）确定，就是3个自由度，转动的部分可以用三个旋转角度确定（想想SolidWorks里面的数据迁移旋转），那么一共就是6个自由度。如果不是刚体的话，还有可能会更多，比如一个质点组，各个点之间不存在约束关系。
但是我们去总结概括刚体运动时，会利用约束条件对其进行分类，大抵可以有以下几类：
定点转动：就是说对于转动，没有任何约束条件，刚体的转动自由度为3。
定轴转动：只能绕一个定轴转动，那么转动自由度降为1。
平面运动：不仅限制转动只能是定轴转动，还限制平动必须在平面中进行，也就是说平动自由度下降为2，总的自由度为3。
当运动的形式为平面运动的时候，我们可以提取出基面和基轴和基点三个要素，基轴就是选定的任一轨道平面，与基轴垂直的任意直线上的各点，运动状态相同，具有相同的速度和相同的加速度。基面上的各个点的运动被分解为基点的运动加上绕基点的转动，如果选择质心为基点，那么就会有公式
也就是说，在解题的时候，可以先用质心动量定理求解出质心的速度，然后再用定轴转动定理求解出 $w$ 然后再通过分析得出 $v$ 的特征，比如说纯滚就是 $v=0$ ，就可以列出方程组了。
8.1.2 刚体的特性
刚体有如下特性：
- 任意两点的速度矢量，在其连线方向的投影分量总是相等的。
- 刚体内部一对内力做功之和恒为0。
- 刚体的瞬时角速度存在唯一性，根源来自物体的刚性。
8.2 定轴转动惯量
8.2.1 转动惯量的定义
其中 $R_i$ 为质量元 $\Delta m_i$ 位置与轴的距离，可以看到，转动惯量是一个标量，它的大小与转轴和质量分布，也就是形状都有关系。离轴越远，转动惯量越大。
我们利用转动惯量可以计算角动量沿转轴的分量：
这表明，定轴转动角动量的轴分量与角速度成正比，其比例系数为转动惯量。转动惯量对角动量分量的影响，如同惯性质量对动量的影响，转动惯量是对刚体在定轴转动时表现出的惯性的一种量度。
8.2.2 常见物体的转动惯量
- 圆环，以过圆心垂直于圆平面的轴： $mR^2$
- 圆盘，以过圆心垂直于圆平面的轴： $\frac{1}{2}mR^2$
- 球壳，以任一直径为轴： $\frac{2}{3}mR^2$
- 球体，以任一直径为轴： $\frac{2}{5}mR^2$
- 圆柱体，以过中心线一半且平行于地面的直线为轴： $\frac{1}{4}mR^2+\frac{1}{12}ml^2$
8.2.3 转动惯量计算公式
平行轴定理
与质心轴平行的转轴，其相应的转动惯量 $I$ 与质心轴的转动惯量 $I_c$ 满足关系，其中 $d$ 为两轴之间的垂直距离，可以看到，在众多转轴中，那个通过质心轴的转动惯量最小，也就是说相同力矩，绕质心轴转动的角速度最大。
薄板正交定理
针对质量呈面分布的定理，我们根据这个定理可以计算圆环和圆盘绕直径转动时的转动惯量：
8.3 定轴转动定理
8.3.1 定轴转动定理
这个定理对偶于牛顿第二定律，表明定轴转动的角加速度正比于外力矩的轴分量 $M_z$ ，反比于刚体的转动惯量。应当注意到，沿轴分量的力矩只与 $F_{xy}$ 有关，呈以下关系：
也就是说，可以用右手螺旋定则判断力矩的方向，而大小则是我们常说的力乘力臂，力臂是施力方向至轴的垂直距离。
8.3.2 轴承约束力
转动物体受到的外力，既有外资的主动力F，也有被动的隐蔽的的轴承给予的力——约束力。只是约束力对力矩没有贡献，是因为其方向总是越轴距R反平行，用于提供向心力。尽管约束力不影响角动量守恒，但是它会使动量不再守恒。
8.3.3 定轴转动动能公式
8.3.4 动力学分析
在我们补充了转动的分析公式后，我们就可以对转动的物体进行分析了，一般的题目需要求解的方程一般来自这么几个方面：
运动学：纯滚（$v=0$）、角速度和线速度转换、角加速度和线加速度转换。
我们有如下公式
转动：一般为定轴转动定理。
牛顿受力分析：因为以刚体居多，所以大部分依靠质心动量定理。
8.3 进动与章动
进动与章动不再是我们熟悉的定轴转动的讨论范畴了，而是一种定点转动
我们可以认为人们是希望陀螺保持定轴转动的，而进动与章动可以看做造成陀螺由定轴转动变成定点转动的现象。
角动量大的陀螺，它的定轴性就更好，就可以用来指示方向（角动量的方向）。所以想要造出精密的陀螺仪，应该有大质量，大密度，高转速的陀螺。