导数概念的形式化

一、总论

数值多元函数微分及其相关概念，如中值定理、泰勒展开是数值一元函数的一般化。更进一步说，最一般化的东西是向量值函数。我写这一节的目的是为了与书中特殊到一般的过程形成对比，构建一个由一般到特殊的更加形式统一的体系。但是刚下笔就遇到困难，因为数值单变量函数不仅是最最特殊的情况，它还是最最基本的情况，任何对更加一般的情况的讨论，都离不开对数值单变量导数的运算。所以很难顺序的展开所有概念，介绍时必须选用一定的知识作为推导的基础，这也使得这个体系不再完美。

二、一阶导数

2.1 一阶导数形式规定

一、基本概念

1.1 总论

我觉得进到多元范畴，有两点是重要的，一个是形式的统一，另一个是条件的强弱。形式的统一有两个方面，一个是把新的概念用旧的概念解释，一个是将旧的概念，狭义的概念用新的概念，普世的概念重新理解，这一部分我做的还可以。条件的强弱做的不够好，在讨论单元函数条件的时候，就没有可以与新学的知识互相启发的可能。条件的强弱是应该有感情的，我在新学的知识的条件方面做的还可以，可以弥补部分基础知识，但是对于高深的知识，比如泰勒，积分在级数方面的应用，就十分不敏感。

1.2 距离

首先应当明确，距离并不是每一个空间的必要特征，但是是进行数学分析的必要特征。定义距离需要内积的概念，内积衍生出了距离和角度两个概念。所以其实距离并不是基本概念，但是显然距离才比较与数学分析体系兼容，角度只在正交的时候才比较明显。距离在一元函数中表现为绝对值，要注意这种概念的迁移性。

一、总论

最重要的一点是，傅里叶级数不是傅里叶展开，由 $f(x)$ 生成的傅里叶级数可能跟原来的 $f(x)$ 不相等，没啥大联系，就像泰勒级数也不一定等价于原函数，只能在收敛半径内等价一样。只有理清了这一点，才知道我们看待傅里叶级数的角度。

二、生成傅里叶级数

生成傅里叶级数用的是类似施密特正交化的方法，这个方法可以把一组线性无关的向量，转换成一组线性无关且正交的向量，其实可以将 $f(x)$ 看做一个向量（函数），由一大堆不知道多少个，也不知道是什么的其他向量（函数）组成，但是可以用一组由相互正交的三角函数组成的向量组（函数组）来代替他们，代替的过程中就写出来了。

一、函数列和函数项级数的收敛性质

1.1 函数列和函数项级数的定义

函数列指的是 ${S_n(x)}$ 这样的序列，等价于数列，而函数项级数指的是将函数列${u_n(x)}$进行累加得到的 $\sum u_n(x)$ ，等价于数项级数。虽然我们一般都有等式 $S_n(x)=\sum^n u_k(x)$，讨论收敛性，或者是收敛后的分析性质时，描述的东西本质上是一样的，但是在处理方法上大有区别。比如说对于函数列的一致收敛，我们一般用 $\beta$ 上界判别法，或者用柯西收敛原理。对于函数项级数的一致收敛，我们一般用Dirichlet判别法或者Abel判别法或者柯西收敛原理进行判定，如果判定不了，还可以对函数项级数进行求和转化成函数列（这点尤为重要）。所以区分函数列和函数项级数是很有必要的。

1.2 逐点收敛

应该意识到最重要的事情：逐点收敛是数的收敛，一致收敛是函数的收敛。但是即使这么说也要强调，收敛、绝对收敛、条件收敛描述的都是数项级数，也就是说描述的是逐点收敛，而不是一致收敛。再详细的说，收敛就是逐点收敛，千万不能产生概念辨析上的困难。要想学好这一章，最重要的就是区分这些概念的辖域。

数项级数

一、数项级数的敛散性质

1.1 求和

这是最基础的运算，但是却常常被忽略。因为其实这一章的问题是两步，第一步是判断级数是否收敛，由此演化出各种判别方法，出题一般也围绕这个方面进行设置；第二步是指出级数收敛到哪里，这个不是每个级数都有答案，但是如果直接解决了第二步，那么第一步就显得十分显然，但是就很少被我利用。

关于求和的方法，我会在基本功这篇笔记中进行讨论，就不在此赘述了。

一、求极限

1.1 先化简

对于x趋于0，$e^{-x^2}$ 这种复杂的结构其实就是1。

1.2 减法式子化乘法

对于x趋于0，$\sqrt{1-x^3}- 1$ 当然要化成乘法了，这个其实是用广义二项式定理做的，属于等价无穷小，或者泰勒级数。