一、特征方程的求解
这里首先给出一个方程
A x = μ x Ax = \mu x
A x = μx
这个方程描述的是，一个非零向量 x x x A A A x x x
这个方程本质上是为了每个特定的 A A A x x x μ \mu μ μ \mu μ μ \mu μ μ \mu μ x x x
上面的方程可以变形成方程组的形式
( A − μ I ) x = 0 (A - \mu I)x = 0
( A − μ I ) x = 0
因为这个方程组（将上面的式子理解成一个线性方程组）一定有零解，所以如果想要非零解，就说明系数矩阵 A − μ I A - \mu I A − μ I
∣ A − μ I ∣ = 0 \big\vert A - \mu I \big\vert = 0
A − μ I = 0
这个行列式对应的多项式被称为特征多项式 ，求出来的值就是特征值 λ \lambda λ 。
然后根据求解出来的 λ \lambda λ
二、特征向量与相似性
2.1 相似定义
设 A , B A, B A , B n n n n n n P P P
B = P − 1 A P B = P^{-1} A P
B = P − 1 A P
则称 A A A B B B
如果想要直观理解，可以这样理解同一个线性变化，在不同基下的矩阵，称为相似矩阵 。也就是下面的图
发生的都是线性变换都是将紫色的向量变成黄色的向量 ，但是因为基的不同，所以线性变换的内容也由 A A A B B B
其中 P P P V 2 V2 V 2 V 1 V1 V 1
2.2 特征向量与对角矩阵相似
我们进行基变换的目的一般都是为了让线性变换的形式更加简单（就好像我们喜欢沿着椭圆的长短轴建系一样），那么线性变换比较简单的一个形式就是对角矩阵 ，因为在这个形式下，变化变得十分显然。
我们举一个例子来联系特征向量和对角矩阵相似推导。
A = [ 3 2 1 0 − 1 − 2 0 0 3 ] A = \left[\begin{matrix}3 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 3\end{matrix}\right]
A = 3 0 0 2 − 1 0 1 − 2 3
这个方程的三个特征向量分别是 X 1 = ( 1 , 0 , 0 ) T , X 2 = ( 0 , 1 , − 2 ) T , X 3 = ( 1 , − 2 , 0 ) T X_1 = (1, 0, 0)^T, X_2 = (0, 1, -2)^T, X_3 = (1, -2, 0)^T X 1 = ( 1 , 0 , 0 ) T , X 2 = ( 0 , 1 , − 2 ) T , X 3 = ( 1 , − 2 , 0 ) T A X 1 = 3 X 1 , A X 2 = 3 X 2 , A X 3 = − X 3 AX_1 = 3X_1, AX_2 = 3X_2, AX_3 = -X_3 A X 1 = 3 X 1 , A X 2 = 3 X 2 , A X 3 = − X 3
P = ( X 1 , X 2 , X 3 ) P = (X_1, X_2, X_3)
P = ( X 1 , X 2 , X 3 )
那么由特征方程有
A P = ( A X 1 , A X 2 , A X 3 ) = ( X 1 , X 2 , X 3 ) [ 3 0 0 0 3 0 0 0 1 ] AP = (AX_1, AX_2, AX_3) = (X_1, X_2, X_3) \left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]
A P = ( A X 1 , A X 2 , A X 3 ) = ( X 1 , X 2 , X 3 ) 3 0 0 0 3 0 0 0 1
如果再令
D = [ 3 0 0 0 3 0 0 0 1 ] D = \left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]
D = 3 0 0 0 3 0 0 0 1
这个 D D D
A = P D P − 1 A = PDP^{-1}
A = P D P − 1
三、矩阵的运动
到底特征值和特征向量 怎样用运动 去理解，我们知道，当一个方阵 A 满秩时候，就有
A = P [ λ 1 0 . . . 0 0 λ 2 . . . 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . λ n ] P − 1 A=P\left[\begin{matrix}\lambda_{1}&0&...&0\\0&\lambda_{2}&...&0\\...&...&...&...\\0&0&...&\lambda_{n}\end{matrix}\right]P^{-1}
A = P λ 1 0 ... 0 0 λ 2 ... 0 ... ... ... ... 0 0 ... λ n P − 1
其中
P = [ α 1 α 2 ⋯ α n ] P=\left[\begin{matrix}\alpha_{1}&\alpha_2&\cdots&\alpha_n\end{matrix}\right]
P = [ α 1 α 2 ⋯ α n ]
α i \alpha_i α i λ i \lambda_i λ i
我们知道，在运动的观点 下看，矩阵乘法的意义是把原来的一个向量 x 通过矩阵 A 变换成一个新的向量，发生了一次运动 ，原来我理解特征值和特征向量就是，只有特征向量会在 A 的作用下方向不发生改变，只有大小发生改变，改变的倍数就是对应特征值，但是这样分析好像不够本质，我们用多次运动 来将其更加直观一些。即 A 次幂，有
A k x = λ 1 k P [ 1 0 . . . 0 0 ( λ 2 λ 1 ) k . . . 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . ( λ n λ 1 ) k ] P − 1 x A^kx=\lambda_1^kP\left[\begin{matrix}1&0&...&0\\0&(\frac{\lambda_2}{\lambda_1})^k&...&0\\...&...&...&...\\0&0&...&(\frac{\lambda_n}{\lambda_1})^k\end{matrix}\right]P^{-1}x
A k x = λ 1 k P 1 0 ... 0 0 ( λ 1 λ 2 ) k ... 0 ... ... ... ... 0 0 ... ( λ 1 λ n ) k P − 1 x
其中，λ 1 \lambda_1 λ 1 P − 1 x P^{-1}x P − 1 x
A k x = c λ 1 k α 1 A^kx=c\lambda_1^k\alpha_1
A k x = c λ 1 k α 1
也就是说，无论输入什么向量，在多次运动后，其方向都会趋于最大特征值对应的特征向量的方向，也就是说，这个矩阵有一个很本质的运动趋势 可以用特征向量来概括，就好像推动帆船的风一样，虽然船的方向不一定与风相同，但是只要吹得久，最终都会相同。
