一、函数列和函数项级数的收敛性质
1.1 函数列和函数项级数的定义
函数列指的是 ${S_n(x)}$ 这样的序列，等价于数列，而函数项级数指的是将函数列${u_n(x)}$进行累加得到的 $\sum u_n(x)$ ，等价于数项级数。虽然我们一般都有等式 $S_n(x)=\sum^n u_k(x)$，讨论收敛性，或者是收敛后的分析性质时，描述的东西本质上是一样的，但是在处理方法上大有区别。比如说对于函数列的一致收敛，我们一般用 $\beta$ 上界判别法，或者用柯西收敛原理。对于函数项级数的一致收敛，我们一般用Dirichlet判别法或者Abel判别法或者柯西收敛原理进行判定，如果判定不了，还可以对函数项级数进行求和转化成函数列（这点尤为重要）。所以区分函数列和函数项级数是很有必要的。
1.2 逐点收敛
应该意识到最重要的事情：逐点收敛是数的收敛，一致收敛是函数的收敛。但是即使这么说也要强调，收敛、绝对收敛、条件收敛描述的都是数项级数，也就是说描述的是逐点收敛，而不是一致收敛。再详细的说，收敛就是逐点收敛，千万不能产生概念辨析上的困难。要想学好这一章，最重要的就是区分这些概念的辖域。
在逐点收敛中，自变量x不再是一个自变量，而是数项级数中一个参量，就像 $\frac{1}{n^p}$ 中的p一样。对于逐点收敛的处理，其实就是对数项级数的处理，方法也是沿用数项级数的处理方法。在逐项收敛中，有一个重要的概念就是和函数，对应的还有和函数的收敛域。注意这两个概念都是逐点性质。
所谓的逐点，就是在一开始就给出了自变量x的值，比如求
若要求 $S(x)$ ，不能令 $x=\frac{1}{n}$ ，因为 $x$ 在n之前取值，所以不能写作n的函数。或者连续，也要在取定 $x=x_0$ 后讨论函数的值。也就是说，逐点收敛确立的 $N$ 是 $N(x_0)$ ，而一致收敛确定的是 $N$ 是一个与 $x_0$ 无关的值（即x是在N取定后取的）。就好像逐点有界，是说给定 $x_0$ 后有 $f_n(x_0)<=M(x_0)$ ，而一致有界就是先给出 $M$，然后有 $f_n(x)<=M$ 。一致比逐点的条件更强，是整体的性质。
不仅是逐点收敛，连续、可导都是逐点性质。
注意，我们在讨论函数项级数的收敛域时，这里的收敛指的是绝对收敛，用的方法是根值判别法或者比值判别法。好像没有讨论过条件收敛。
1.3 一致收敛
1.3.1 函数列一致收敛的判别法
最主要的方法是 $\beta$ 上界判别法，它说的是当和函数与函数序列的差值的上界是一个无穷小量时，则函数列一致收敛。注意这里的差值不是一个数，而是一个以x为自变量的函数，一个函数是一个无穷小量，这说明他的最大值是一个无穷小量，所以在解题的时候一般求函数的极大值，然后证明他趋于零，如果条件松的话，也可以进行放缩，获得的则不是上确界，而只是上界。最终的结果是诞生一个不含x，只含n的式子。
相反，如果证明函数列不一致收敛，只需要证明在收敛域里存在一个x的取值，使得此时的函数值不趋于零即可，这里一般利用x把n一起消掉，剩下的是一个不为0的常数为最佳。
$\beta$ 上界判别法的预处理是求出和函数，要注意，和函数是逐点定义的，所以x是不能表示为n的函数的，因为x在n前被定义，x就是个参数，所以和函数很好求。
还有一种办法是柯西收敛原理，但是见得较少，就不在此赘述了。
1.3.2 函数项级数的判别法
写在最前面，函数项级数有一个最容易被忽略的方法就是直接对他求和，转换成函数列，然后用$\beta$ 上界判别法，有些已经裂好项了，或者显然可以求和（比如自变量x呈现等比级数的形式），就没必要在函数项级数这里浪费时间了。
函数项级数的判别法有优级数判别法、Dirichlet判别法、Abel判别法，这里就不一一赘述了。但是有一点，就是Dirichlet判别法、Abel判别法只能对待写成乘积形式的函数项级数，所以比如 $\sum(\frac{1}{n}+x)^n$ 这种结构，就没有办法用这两个判别法了，那么只能用优级数了，但是优级数必须要进行放缩，有的时候会与内闭一致收敛联合考察。
对于判断不一致收敛的方法，函数项级数的方法要比函数列多很多，从这个角度看，在判断不收敛时，也可以将函数列转换成函数项级数，虽然没有见过，但不失为一种思路。
判断一致收敛有两个必要条件，一个是函数项必须趋于零（注意这里用的还是$\beta$ 上界判别法，只不过这里判别的就是 $u_n(x)$ ，而不再是 $S_n(x)$ ），另一个是开区间上连续函数项级数的一致收敛，必须保证区间端点也必须收敛，利用这两个性质，当这两条没有被满足时，那么就一定是不一致收敛的。
另外，柯西收敛原理在判断不一致收敛时也有较好的应用。
二、函数列和函数项级数的分析性质
2.1 总论
条件的强弱和互推，成了这章的主旋律。首先要明确，分析性质不像上一章的收敛性质，这一章的结论对于函数项级数和函数列基本上呈现对偶的特征，没有哪个定理是只有函数项级数有而函数列没有的。其次，要时刻谨记逐点和一致的差异，一致是强条件，有些结论比如连续是逐点的，所以推导起来会很容易，但是如果结论也是一致的，那么推导起来就较难，如果不能区分两者，会觉得推导时而严谨，时而宽松，是极其有害的。最后，要关注条件的互推，这一章基本上是没有充要条件的，所以那些自以为是的想法可以放一放了。
2.2 内闭一致收敛
内闭一致收敛很好的体现了我在总论中陈述的第二点，即一致的条件过于强，有的时候我们达不到这样强的条件，但是因为要证明的性质是逐点的，所以我们也不需要那么强的条件，我们可以得到一个相较于闭区间一致收敛较弱的条件，即开区间内闭一致收敛，就可以完成对闭区间逐点性质（一般是连续）成立的推导的。
内闭一致收敛描述的是这样一种现象：函数列在闭区间上不一致收敛，但是在开区间上一致收敛，那么对应的闭区间逐点性质可以得到满足。
在这里还是要进行一个区分，内闭一致收敛是对于函数列而言的，对于函数项级数来说，一般是没有内闭一致收敛概念的。这是因为函数项级数的一致收敛有性质：当 $u_n(x)$ 在 [a,b] 上连续且 $\sum u_n(x)$ 在（a,b) 上一致连续时，则 $\sum u_n(x)$ 在[a,b] 上一致连续，所以基本上用不到内闭一致收敛的性质。
对于经典的证明题目，我们有如下推导链条：
开区间一致收敛 $\rightarrow$ 内闭一致收敛 $\rightarrow$ 闭区间连续 $\rightarrow$ 闭区间一致连续
2.3 连续
当 $S_n(x),u_n(x)$ 连续且一致收敛的时候，则他们的和函数连续，可以被概括为：
但是仍需要注意的是，当和函数连续的时候，并不能说明$S_n(x),\sum u_n(x)$ 一致收敛，即只是充分条件，如果想要推出这个结论，需要补充条件，即Dini定理：
设$S_n(x)$ 在闭区间上连续，且逐点收敛到$S(x)$，若对于任意给定的 $x_0$ 都有$S_n(x_0)$ 单调，则$S_n(x)$一致收敛到$S(x)$。
2.4 可积
当$S_n(x),u_n(x)$闭区间连续且一致收敛的时候，则他们的和函数可积。
注意这个也是充分条件。
2.5 可导
可导有三个条件，分别是：（1）导函数闭区间连续（2）导函数闭区间一致收敛（3）存在 $x_0$ 使得函数（注意这里不是导函数）收敛。
因为可导也是逐点性质，所以推导时大量使用内闭一致收敛。
注意即使可导的条件较强，这个定理依然是充分条件。
三、幂级数
3.1 总论
可以说前面的所有知识都是为了这一章进行铺垫的，我们的最终目的就是将一个不好分析的函数用一个幂级数去逼近，进而分析这个好分析的幂级数。那么就会产生如下三个问题：怎么能逼近？逼近就能代表吗？幂级数为什么好分析？分别对应（1）函数的幂级数展开（2）幂级数的收敛性质（3）幂级数的分析性质。我们前面分析的各种一般化的概念和性质，都是在为这个特例服务的。
3.2 幂级数的收敛性质
3.2.1 收敛半径
收敛半径其实就是收敛域概念的一个延展，所以重中之重是意识到收敛半径的收敛是说的逐点收敛，而不是一致收敛，如果不把这个搞清楚，那么在概念的辨析上会存在很大的障碍。
求收敛半径的方法就是根值和比值两种方法，属于幂级数独有的方法，就是只判断x项前面的系数就可以了。但是如果不行的话，比如出现缺项的情况，那么幂级数的判别方法就不能使了，但是还是可以使用数项级数的判别方法的，就是带着x项进行判别。
3.2.2 幂级数的一致收敛
幂级数的一致收敛性质由两条组成：
第一条：幂级数在收敛域内内闭一致收敛。用的是优级数判别法进行的证明。
第二条：Abel第二定理，当幂级数在 $x=R$ 处逐点收敛时，则幂级数在 [0,R] 上一致收敛，若幂级数在 $x=-R$ 处逐点收敛时，则幂级数在 [-R,0] 上一致收敛。用的是Abel判别法进行的证明。
PS：Abel定理是描述幂级数逐点收敛性质的定理，是收敛半径概念的基石。
3.3 幂级数的分析性质
3.3.1 连续
设幂级数的收敛半径为R，则幂级数的和函数在（-R，R）连续，若还有幂级数在 x=R （或x=-R）处收敛，则和函数在 x=R （或x=-R）处左（右）连续。
3.3.2 可积
幂级数在收敛域内任何一点都由0到这一点进行积分，积分后得到的幂级数的收敛域在端点处的收敛性可能会“变好”，从不收敛变为收敛，但不会变坏“变坏”。
3.3.3 可导
幂级数在收敛域内任何一点都有任意阶导数，求导后的幂级数的收敛性可能会变坏，不会变好。
3.4 幂级数展开
3.4.1 面对的两个问题
很容易想到，只要 $f(x)$ 有任意阶导函数，就可以利用泰勒公式生成一个幂级数，我们称它为泰勒级数。但是问题在于，泰勒级数是否必在一个开区间上收敛？如果收敛的话，是否会收敛到 $f(x)$ ？我们说这两件事都不是一定的，而是需要条件的。
3.4.2 两个条件
有一个充要条件为
由此，可以得到一个充分条件，即
书中是没有 $\beta$ 的表述的，但我想说的是引入 $\beta$ 可以强调这是一个函数，而不是一个数。
3.4.3 获得复杂的幂级数
复杂的原因大部分是出在求导，一个分式或者一个乘式都是很难求导的。对于分式而言，如果能裂项，就一定要裂项，对于乘式而言，要应用柯西乘积（柯西乘积只要在两者都是绝对收敛的时候才可以成立，幂级数刚好有这个性质）。
3.4.4 幂级数的应用
大部分用来求数项级数的和，如果这个数项级数里面有阶乘，$n(n+1)$ ，$2^n$ 这种结构，大概就是要用幂级数来求了。