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一、基本概念

1.1 总论

我觉得进到多元范畴,有两点是重要的,一个是形式的统一,另一个是条件的强弱形式的统一有两个方面,一个是把新的概念旧的概念解释,一个是将旧的概念,狭义的概念新的概念,普世的概念重新理解,这一部分我做的还可以。条件的强弱做的不够好,在讨论单元函数条件的时候,就没有可以与新学的知识互相启发的可能。条件的强弱是应该有感情的,我在新学的知识的条件方面做的还可以,可以弥补部分基础知识,但是对于高深的知识,比如泰勒,积分在级数方面的应用,就十分不敏感。

1.2 距离

首先应当明确,距离并不是每一个空间的必要特征,但是是进行数学分析的必要特征。定义距离需要内积的概念,内积衍生出了距离角度两个概念。所以其实距离并不是基本概念,但是显然距离才比较与数学分析体系兼容角度只在正交的时候才比较明显。距离在一元函数中表现为绝对值,要注意这种概念的迁移性。

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一、总论

最重要的一点是,傅里叶级数不是傅里叶展开,由 $f(x)$ 生成的傅里叶级数可能跟原来的 $f(x)$ 不相等,没啥大联系,就像泰勒级数也不一定等价于原函数,只能在收敛半径内等价一样。只有理清了这一点,才知道我们看待傅里叶级数的角度。


二、生成傅里叶级数

生成傅里叶级数用的是类似施密特正交化的方法,这个方法可以把一组线性无关的向量,转换成一组线性无关且正交的向量,其实可以将 $f(x)$ 看做一个向量(函数),由一大堆不知道多少个,也不知道是什么的其他向量(函数)组成,但是可以用一组由相互正交的三角函数组成的向量组(函数组)来代替他们,代替的过程中就写出来了。

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一、函数列和函数项级数的收敛性质

1.1 函数列和函数项级数的定义

函数列指的是 ${S_n(x)}$ 这样的序列,等价于数列,而函数项级数指的是将函数列${u_n(x)}$进行累加得到的 $\sum u_n(x)$ ,等价于数项级数。虽然我们一般都有等式 $S_n(x)=\sum^n u_k(x)$,讨论收敛性,或者是收敛后的分析性质时,描述的东西本质上是一样的,但是在处理方法上大有区别。比如说对于函数列一致收敛,我们一般用 $\beta$ 上界判别法,或者用柯西收敛原理。对于函数项级数一致收敛,我们一般用Dirichlet判别法或者Abel判别法或者柯西收敛原理进行判定,如果判定不了,还可以对函数项级数进行求和转化成函数列(这点尤为重要)。所以区分函数列函数项级数是很有必要的。

1.2 逐点收敛

应该意识到最重要的事情:逐点收敛是数的收敛,一致收敛是函数的收敛。但是即使这么说也要强调,收敛绝对收敛条件收敛描述的都是数项级数,也就是说描述的是逐点收敛,而不是一致收敛。再详细的说,收敛就是逐点收敛,千万不能产生概念辨析上的困难。要想学好这一章,最重要的就是区分这些概念的辖域

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数项级数

一、数项级数的敛散性质

1.1 求和

这是最基础的运算,但是却常常被忽略。因为其实这一章的问题是两步,第一步是判断级数是否收敛,由此演化出各种判别方法,出题一般也围绕这个方面进行设置;第二步是指出级数收敛到哪里,这个不是每个级数都有答案,但是如果直接解决了第二步,那么第一步就显得十分显然,但是就很少被我利用。

关于求和的方法,我会在基本功这篇笔记中进行讨论,就不在此赘述了。

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一、求极限

1.1 先化简

对于x趋于0,$e^{-x^2}$ 这种复杂的结构其实就是1。

1.2 减法式子化乘法

对于x趋于0,$\sqrt{1-x^3}- 1$ 当然要化成乘法了,这个其实是用广义二项式定理做的,属于等价无穷小,或者泰勒级数

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一、数理逻辑总论

1.1 形式

“Logic is about the form of things, but not the things themselves.”

逻辑=语法+语义,但是并非像自然语言一样,语义占据了统治地位,而语法只起辅助作用。恰恰相反,逻辑更关注语法,即形式。罗素说,数理逻辑是数学中的数学,也就是元数学,它试图构建一个基础,用来支撑庞大的数学体系。从这个角度来看,关注语法,确切的是形式,是十分必要的,因为这个元数学必须适用于所有的数学理论,那么仅仅局限与一个体系的语义,没有办法做到适用于所有体系。就好像数学对客观世界的抽象,如果只纠结于1怎么写1+1=2的问题,数学是没有长足发展的,只有提炼出未知数x这种可以代表一切自然数的东西,才能使数学的概括能力有所提高。我们也可以说,x是某个特定自然数,比如1,的形式。就像现在的数理逻辑是比如数论欧式几何的抽象,所以过于纠结于语义的现象就像在问“x+1里的x是多少一样?“没有意义。

1.2 定义形式

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