计算机组成 - 布尔代数

这是我在授课的时候总结的，所以显得会比较稚嫩，内容也不太全，但是没时间再花心思整理这个内容了，只能说做题遇见不会的在说吧。

里面的知识还是很有意思的，因为当学完以后就会发现，布尔代数其实跟计组没啥关系，准确的说，布尔代数是数字电路的基础，而我们计组一旦进入到了使用 verilog 的阶段，那么就是大量的行为建模而不是结构建模了。后面搭建各种 CPU，用的都不是布尔代数的思想，也不需要其作为基础。

另外复习突然发现，忘了与或式是啥了，就是这个

$$F = AB + \bar{A}\bar{B}$$

那么或与式就是这个

$$F = (A+B)(\bar{A} + C)$$

一、反演定律

如果将一个式子的与和或互换（注意不改变计算顺序，也就是与转换成或的时候需要加括号），1 和 0 转换，文字相互转换，那么就可以得到这个公式的反，举个例子

$${F} = \bar A \bar B + CD$$

那么他的反演式，就是

$$\bar{F} = (A + B)(\bar C + \bar D)$$

我们注意到反演直接就给等号左侧取反了，这就是对的，也就是说，原来能够使 $F$ 得 1 的输入向量，现在能使 $\bar F$ 得 0 ，，原来能够使 $F$ 得 0 的输入向量，现在能使 $\bar F$ 得 1。可以说是一个很神奇的公式了，神奇到我之前都没有发现他的威力。

那么为什么会有这种结果呢？可以粗浅的理解一下，如果把 $F$ 展开成一个极小项范式，这个范式按照上面的操作来一遍，就可以得到 $\bar F$ 的极大项范式，这个可以从真值表中直接得出，反之亦然。对于没有化成标准范式的式子，其实都是可以推广的。

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二、对偶定理

这个其实就是不交换原变量和反变量，其他跟反演定律一致，举个例子

$${F} = \bar A \bar B + CD$$

他的对偶式就是

$$F^* = (\bar A +\bar B)( C + D)$$

但是 $F^*$ 和 $F$ 之间就没有这么明显的关系了，这是因为这个式子探究的不是函数间的关系，而是恒等式（等号两侧是平等的）之间的关系，正确的用法是

$$F= A(B+C)=AB + AC$$

然后由对偶定理，我们可以得到另一组恒等式，有

$$F^* = A + BC = (A + B)(A + C)$$

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三、一个重要公式

$$AB + \bar AC + BCDEF... = AB + \bar AC$$

如果有两项中的因子互为反变量 $A,\bar A$， 而且这两项中的其他因子 $B,C$ 在后面中的某一项中同时出现 $BCDEF... $​，那么这一项可以消去。​

证明方式如下：

$$AB + \bar AC + BCDEF... = AB + \bar AC + (A + \bar A)BCDEF... = AB + ABCDEF... + \bar AC + \bar ABCDEF...=AB + \bar AC$$

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四、公式化简和卡诺图

公式化简的最基本的方法就是合并、补项和联立，其中以补项和联立最为反人类思维方式。但是这两种都可以很好用卡诺图解决。

对于 SR 寄存器的状态转移公式，有如下式

$$Q^{n+1} = \bar S\bar RQ^n + S\bar R\bar Q^n + S \bar R Q^n$$

$$S\cdot R = 0$$

可列出卡诺图如下：

	00	01	11	10
0	0	0	x	1
1	1	0	x	1

可以看出根据卡诺图很容易就可以写出表达式

$$Q^{n+1} = S + \bar R Q^n$$

其中 x 是因为对于 S，R 均为 1 的情况，不会出现，所以是 x。

那么我们在看一遍正经的化简过程：

$$Q^{n+1} = \bar S\bar RQ^n + S\bar R\bar Q^n + S \bar R Q^n + SR(Q^n + \bar Q^n) + S\bar RQ^n=S +\bar R Q^n$$

可以看到，增添的三项其中两项对应的是 x，另一项是画圆圈的时候重叠的项，所以可以看出，补项和联立被处理的很好。

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五、门的实际作用

这里讨论的是一类电路设计的特殊情况，即与门和或门的作用。

对于与门而言，有一种可以控制数据流通的作用，当我们将与门的两个输入中的一个看做使能端的时候，就会发现，与门的输出就跟另一个输入（我们叫它输入）有了密切联系，当使能端为 1 的时候，输出就等于输入，当使能端为 0 的时候，输出就是 0。是一个很好的控制门。

对于或门而言，有一种综合多输入的作用，当其他输入为 0 的时候，那么输出就只跟唯一那个输入有关了，也是很好的性质。

什么叫做高阻态，其实高阻态可以理解为断路（电路如果断了，就是很高的电阻）