数学分析-多元函数积分

一、求平面的法向量

如果给了两个向量，想要求第三个向量垂直于这两个向量，那么最自然的办法就是用叉乘。对于求平面的法向量也是这个逻辑，我们先找出两个属于这个面的向量，那么就是用以直代曲的思想找两个切向量，也就是两个变量的偏导梯度，就可以了，找着以后就可以用形式行列式计算了，书上写的直接把叉乘结果给出来了，我觉得不好。对于有隐函数的情况，其实是一样的，因该说前者更为普世，但是我在上一章只论述了后者，不该啊。

二、雅克比矩阵与行列式

书上总出现这种东西

$$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\left[\begin{matrix}x_u\space x_v\\y_u\space y_v\end{matrix}\right]$$

具体我也分不清它到底指的是矩阵还是行列式，反正大概就是这么一个东西。

当他是行列式的时候，它指的是xy和uv因换元造成的差距，你可以理解为是一种面积，总之不太直观。

三、外积分形式

3.1 总论

去谈这个的时候我的内心是惭愧的，我已经花了一下午一晚上在用矢量方法解释数学分析下册后半部分这个浩大的命题上了，我不出所料失败了，看上去外积分形式本来应该是解决这个问题的，但是我学了好久都没有掌握这个知识，所以没有办法，只能说把可以用外积分解释的东西列在这里，做个纪念吧。

3.2 基本形式

主要思想就是把 $dxdy$ 看成 $dx\times dy$ ，然后结合全微分，就可以解决很多问题了。

3.3 代替雅克比行列式

如果想将原来的变元xy用uv换掉，那就可以这么写

$$dx\times dy=(x_udu+x_vdv)\times (y_udu+y_vdv)=(x_uy_v-x_vy_u)du\times dv=|J|du\times dv$$

可以看到就可以完成了，当然对于三元也是成立的。

如果探究本源，我觉得是外积分更为本质，那么为什么外积分可以被概括为行列式呢，这是因为当我们用全微分展开原来的积分变量的时候，可以看成n个多项式连乘，因为叉乘的特性，如果在两个不同的多项式中选取相同的变元，那么最后乘出来肯定是0，所以只有从每个式子中挑取不同的新的积分变量，才能在最后有非零的结果。又由于叉乘交换项的时候会导致正负发生变化，最终为了把新的积分变元调整成一个按顺序的模样，必须交换积分变元，那么具体交换多少次就是看这个连乘序列的逆序数了，而行列式刚好具有这个特点，所以就可以用来概括了。

这其实启发我行列式与外积通过逆序数建立起了某种联系，这种联系日后再思考吧。

3.4 对Newton, Green，Gauss，Stokes定理的统一

这三个定理乃至更高维的定理都可以下面这个式子概括

$$\int_{\partial D}w=\int_D dw$$

让我先把我会的写上，对于这些公式的统一理解是对于一个积分，我们可以转换为对他边界积分的讨论，比如对于Newton-libniz公式，我们就把在一条直线上的事情转换为在两个端点上讨论，对于Green公式，我们就把在一个曲面上的积分转换到在一个在围绕他的一个曲线上积分，对于Gauss公式，我们就把在一个区域里的积分转换成包围这个区域的曲面的一个积分，对于Stokes公式，他与Green公式一样，把在曲面上的积分转换成在曲线上的积分，但是Green讨论的是有两个积分微元的情况，而Stokes讨论的是有三个积分微元的情况，但是本质没有差别。

然后介绍一下怎么具体处理

如果 $w$ 是一个函数，那么他就长这样 $f(x,y,z)$ ，那么 $dw$ 就是这个样子 $(f_xdx,f_ydy,f_zdz)$

如果 $w$ 是一个其他东西，比如 $Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$ ，那么 $dw$ 就是 $dPdydz+dQdzdx+dRdxdy$ 也就是

$$(P_xdx,P_ydy,P_zdz)\times dy\times dz+(Q_xdx,Q_ydy,Q_zdz)\times dz\times dx+(R_xdx,R_ydy,R_zdz)\times dx\times dy$$

然后整理完了就会变成

$$(P_x+Q_y+R_z)dxdydz$$

也就是Gauss公式，其他的相同处理，就是把 $d$ 这个运算符加到每个函数上面去。

注意，这些定理都是建立在被积区域分段光滑（导函数连续）和被积函数导函数连续的前提下的。

四、两类积分的思考

我们可以把第二类积分当做矢量积分，第一类积分当做标量积分，我现在的想法是可以把第一类积分都当做第二类积分的一种特殊形式，这种积分保证每时每刻曲线与积分函数的都共线就可以了，但是我在具体的处理的时候遇到了困难，所以只能黯然离场。

但是如果只思考第二类积分，还是会发现矢量特性是很明显的，给我感触最深的一个特性就是矢量运算不解决本质问题，就好像点乘只是说对应坐标相乘，但是对应坐标怎么乘，其实是标量乘法的内容，所以对于两类积分的关系，应该这么说，第二类积分只有转换成第一类积分才能计算，但是第一类积分转换成第二类积分我还不会。

如果放松条件，那么还是可以总结出一些东西的，比如说对于第二型曲面积分，他的单位法向量是

$$\vec n=\pm(\frac{F_x}{\sqrt{F_x^{2}+F_y^{2}+F_z^{2}}},\frac{F_y}{\sqrt{F_x^{2}+F_y^{2}+F_z^{2}}},\frac{F_z}{\sqrt{F_x^{2}+F_y^{2}+F_z^{2}}})$$

也就是

$$\vec n=\pm(\cos\alpha, \cos\beta,\cos\gamma)$$

其中的正负号是因为有两个方向的法向量，如果用书上的理解我觉得不好。

然后再建立 $d\vec s$ 与 $ds$ 的关系

$$d\vec s=\pm\vec n ds$$

这就是书中给出的关系，无论是曲面还是曲线（就是少一个维度）都是适用这个式子的。但是这个式子的应用很少，主要用于当这么处理以后，就可以获得常数（与被积向量值函数），然后直接求面积或者长度。

然后为了让他更具有普世意义，还可以对他进行变化，有（这是几何知识）

$$ds=\frac{dydz}{\cos\alpha}=\frac{dzdx}{\cos\beta}=\frac{dxdy}{\cos\gamma}$$

最后整理出结果

$$d\vec s=\pm(\frac{F_x}{F_z},\frac{F_y}{F_z},1)dxdy=\pm(\frac{F_x}{F_y},1,\frac{F_z}{F_y})dzdx=\pm(1,\frac{F_y}{F_x},\frac{F_z}{F_x})dydz$$

其中正负号的判断就是一开始法向量方向的判断，如果再进一步，可以利用隐函数定理进行化简，有

$$d\vec s=\pm(-z_x,-z_y,1)dxdy=\pm(-y_x,1,-y_z)dzdx=\pm(1,-x_y,-x_z)dydz$$

这就是书中出现的最后的形式。

五、两种对称性

5.1 对称性

要求积分区域和被积函数都具有对称性。对于被积函数，如果有 $f(x,y,z)=f(-x,y,z)$ 或者 $f(x,y,z)+f(-x,y,z)=0$ 就认为具有对x具有对称性，对于积分区域，积分区域的表示方程或方程组有 $D(x,y,z)=D(-x,y,z)$ 就认为可以使用对x可以使用对称性解题了。

5.2 轮换对称性

只要求积分区域具有对称性，这种对称性只的是如果在表示积分区域的方程中两个变量可以交换位置，那么可以构造出一些函数，里面对应的变量也可以交换位置，比如说

$$x^2+y^2<=1$$

那么就有

$$\int xdxdy=\int ydxdy\space\space\space\space\space\space\int x^2dxdy=\int y^2dxdy\space\space\space\space\space\space \int x^2ydxdy=\int xy^2dxdy$$

利用这个性质可以大幅化简一些复杂的多项式。

这种对称性与上面的不同，上面的是对于一个变量具有对称性，比如对x有对称性，但是轮换对称性指的是两个不同的变元之间具有对称性，满足 $D(x,y,z)=D(y,x,z)$ 那么就可以在积分函数中进行 $f(x,y,z)=f(y,x,z)$ 的代换，一般都是自己构造函数，可以消去某些量。