概率统计 - 二维随机变量

我们依然秉持前一章的思想，对离散型变量和连续性变量进行分类讨论。

希望用数学分析的知识沟通分布函数和密度函数遇到了困难，不如直接理解密度函数来的简洁。

理解离散型向量的分布律要远比理解连续型向量的简单而且直观。

独立的意思是一个变量在任何取值下，都包括另一个变量的所有情况。

一、随机向量

需要注意，即使是向量，对于样本空间来说，其实基本事件也没有变，可以说，两个随机变量只是将同一个基本事件用不同的映射方法映射成不同的实数。

---

二、离散型随机向量

因为太好理解了，所以相关的概念就参考连续型吧。

---

三、连续型随机向量

首先来一张图来区分一下我们要面对的概念

上面的平面是积分区域。

3.1 边缘分布函数

设随机变量 $(X, Y)$ 的分布函数 $F(x,y)$ ，分量 $X$ 的分布函数记为 $F_X(x)$ ，称 $F_X(x)$ 为 $(X, Y)$ 关于 $X$ 的边缘分布函数，$Y$ 同理。

$$F_X(x) = \lim_{y\rightarrow\infty}F(x, y) = F(x, +\infty)$$

3.2 边缘概率密度

分量 $X$ 的概率密度记为 $f_X(x)$ ，称 $f_X(x)$ 为 $(X, Y)$ 关于 $X$ 的边缘概率密度。$Y$ 同理。

$$f_X(x) = \int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)dy$$

3.3 条件概率密度

$$f_{X\mid Y}(x\mid y) = \frac{f(x, y)}{f_Y(x,y)}$$

称它为在条件 $Y = y$ 下 $X$ 的条件概率密度。

---

四、相互独立的随机变量

4.1 定义

设 $X,Y$ 是两个随机变量，若对任意实数 x，y 有

$$P(X\leq x, Y\leq y) = P(X\leq x)\cdot P( Y\leq y)$$

就称 $X,Y$ 相互独立。

4.2 独立判定定理

虽然说是判定定理，但是是充要条件。

$$f(x,y) = f_X(x)\cdot f_Y(y)$$