补充数学 - 卷积

卷积完成的是将两个函数映射成一个函数的过程。这两个函数，既可以是连续的，也可以是离散的。

可以想见，有卷积得到的函数会同时具有两个自变量函数的一些特征。我觉得本质是相互作用。

我听过最优雅的说法是卡农是一种卷积，这种说法超神了！在这里贡献一下我的一种说法，蒹葭是一种卷积。

一、形式

$$(f\ast g)(n) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)g(n-t)dt$$

我们来分析一下这个式子是啥意思，我们已知的是 $f(x),g(x)$ 这个两个函数，我们用一种运算得到了一个新的函数，也就是 $(f\ast g)(n)$ 这个函数以 $n$ 为自变量。

在这个式子里还有一个变量叫做 $t$ 这个变量只是一个遍历变量，没有什么实际含义，就跟 $i,j,k$ 类似。

同时，卷积还有离散形式：

$$(a\ast b)_n = \sum^{+\infty}_{i = -\infty} a_{i}b_{n-i}$$

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二、理解

我觉得卷积最重要体现的是一种自变量间互补的相互关系。

我接触卷积，是在概率论里，二维随机变量的函数，如果有

$$Z = X + Y$$

那么如果是连续型变量，有

$$f_Z(z) = (f_X\ast f_Y)(z) = \int^{+\infty}_{-\infty}f_X(x)\cdot f_Y(z - x)dx$$

如果是离散型随机变量，有：

$$P\{Z = z\} = \sum_iP\{X= i,Y = z -i\}$$

可以看到，无论是哪一种形式，$X,Y$ 都被 $z$ 制约住了。它俩的加和必须等于 $z$ 。

那么这种东西多不多呢？是很多的，最有名的是在系统中，距离现在时刻远的信号发挥的作用 “小”。所谓 “先生先死” 的道理。当然我也说不好啊，所以推荐解释的很好的 链接。

最后，如果将重章叠句也看成一种情绪的叠加，那么蒹葭就可以看做卷积了。