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一、内积的形式

向量 $X$ 与向量 $Y$ 的内积为

这个时候我们熟悉的转置(准确说是熟悉由陌生,因为转置的意义并不好理解)就出现了。

如果 $X, Y$ 仅仅是坐标,需要在基 $A$ 的作用下发挥作用,那么写出来的效果就更神奇了

也就是说,此时出现了我们最为熟悉的 $A^TA$ 结构。

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一、最小二乘法

1.1 总论

最小二乘法的命名来自于对于拟合的评价指标,采用最小二乘法估计的方式,也就是如下所示

我们希望让 $E$ 达到最小,其中 $\hat y_i$ 是第 $i$ 个预测值,$y_i$ 是第 $i$ 个实际值 。

而之所以“最小二乘法”被提炼成一种方法,是因为 $E$ 的形式恰好可以表示成一种更加“线性代数的形式”,即

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一、线性规划(LP)

1.1 标准型

线性规划可以转化成标准型,但是可以发现有两种标准型,分别对应软件程序数学形式,如下所示:

LP 求解器一般接口

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一、定义

$k$ 阶、齐次、常系数、差分方程

$k$ 阶、非齐次、常系数、差分方程

$k$ 阶、齐次、常系数、差分方程的特征方程


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一、例子

之后的所有讲解,都是基于这个例子的,所以在头部统一列出

假定某消费者购房需要贷款 30 万元,期限为 30 年,已知贷款年利率为 5.1%,问每月应还款多少?

符号约定如下

符号 释义
$Q$ 贷款总额(本金),此例为 30 万元
$N$ 还款期限,此例为 30 年
$r$ 利率
$y_i$ 第 $i$ 个月的欠款总额
$x_i$ 第 $i$ 个月的还款
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一、正交矩阵

正交矩阵的定义如下

$UU^T$ 这种写法虽然看似独特,但是并不是很晦涩的,当我们形容向量 $X$ 与其自身做内积的时候,用的就是 $XX^T$,$UU^T$ 无非是利用“矩阵可以看成向量组”的特性,对于多个向量同时进行内积运算,当

也就是只要结果是一个对角阵,就说明 $U$ 里面的向量彼此之间是正交的(也就是内积结果为 0),而 $UU^T = I$ 这个条件相比于彼此正交要更加强,他指的是不但正交,而且具有一种归一化的性质。

将 $U$ 用于变换,产生的结果被称为“正交变换”,也就是“旋转,轴对称”这种保持图形形状和大小不变的变换。

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