补充数学-差分方程

一、定义

$k$ 阶、齐次、常系数、差分方程

$$y_{n + k} + a_{k - 1}y_{n + k - 1} + a_{k - 2}y_{n + k - 2} + \dots + a_0y_{n} = 0$$

$k$ 阶、非齐次、常系数、差分方程

$$y_{n + k} + a_{k - 1}y_{n + k - 1} + a_{k - 2}y_{n + k - 2} + \dots + a_0y_{n} = f(n)$$

$k$ 阶、齐次、常系数、差分方程的特征方程

$$\lambda_{n + k} + a_{k - 1}\lambda_{n + k - 1} + a_{k - 2}\lambda_{n + k - 2} + \dots + a_0\lambda_{n} = 0$$

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二、求解

求解思路与常系数微分方程的求解相似，都是先求解齐次方程，得到通解，非齐次方程的求解就是齐次方程的通解加上特解，而且特解的形式也与常系数的微分方程的特解的形式相似。

对于通解，我们用特征方程先求出特征根，对于 $k$ 阶差分方程的特征方程有 $t$ 个互异的特征根 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_t$ ，重数依次为 $m_1, m_2, \cdots, m_t$，则通解为

$$y_n = \sum^{m_1}_{i = 1}c_{1, j}n^{i - 1}\lambda^n + \sum^{m_2}_{i = 1}c_{2, i}n^{i - 1}\lambda^n + \cdots + \sum^{m_t}_{i = 1}c_{t, i}n^{i - 1}\lambda^n$$

对于特解，如果有

$$f(n) = P_m(x)$$

即 $f(n)$ 是 $m$ 阶多项式，那么可以考虑设 $y_n$ 为 $Q_m(x)$ 或者类似的形式，比如 $Q_{m + 1}(x)$ ，这是因为有可能首项被消掉。

回顾微分方程的特解，会发现其实这就是个待定系数法求特解的过程，因为常系数并不会导致生幂或者不可预料的降幂情况（对于差分方程来说，连降幂都不会发生）。所以其实对于特解的求法，没有定势，只不过是逢山开路，遇水搭桥罢了，同时，因为常系数的特性，使得观察和求解并不困难。

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三、平衡点

平衡点指的是，差分方程是否会收敛到一个定值，如果是可以的，收敛到的值就被称为稳定平衡点，因为解一般有一个大概这种形式

$$y_n = \sum^{m_1}_{i = 1}c_{1, j}n^{i - 1}\lambda^n + \sum^{m_2}_{i = 1}c_{2, i}n^{i - 1}\lambda^n + \cdots + \sum^{m_t}_{i = 1}c_{t, i}n^{i - 1}\lambda^n$$

然后我也不知道为啥就有了所有的特征值都小于 1，是 n 阶线性常系数差分方程有稳定平衡点的充要条件。