补充数学 - 行列式

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一、直观意义

行列式（determinant）可以看做在多维空间上的向量组形成 “有向体积”，这种认识可以辅助我们理解一些性质：

  • 可以利用行列式求解四边形面积、六棱锥体积。

  • 交换构成行列式的向量，并不会改变行列式的绝对值，而可能会改变行列式的正负。这是因为改变边的顺序不会影响体积。

  • 一旦有一行或者一列为 0，或者这个方阵没有满秩，就会导致行列式为 0。某一个向量为 0，肯定会导致体积为 0，当没有满秩，就说明有两条 “边” 方向重合了，也会导致体积为 0。

  • 将一行（列）的 kk​ 倍加进另一行（列）里，行列式的值不变。类似于固定了底面和高，其实第三条楞只要在平行于底面的边上变化，就不会导致体积的改变

    ∣⋮⋮⋮⋮ai1ai2…ainaj1aj2…ajn⋮⋮⋮⋮∣=∣⋮⋮⋮⋮ai1ai2…ainaj1+kai1aj2+kai2…ajn+kain⋮⋮⋮⋮∣{\begin{vmatrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{i1}&a_{i2}&\dots &a_{in}\\a_{j1}&a_{j2}&\dots &a_{jn}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{i1}&a_{i2}&\dots &a_{in}\\a_{j1}{\color {blue}+ka_{i1}}&a_{j2}{\color {blue}+ka_{i2}}&\dots &a_{jn}{\color {blue}+ka_{in}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\end{vmatrix}}

  • 在行列式中，某一行（列）有公因子 kk，则可以提出 kk。类似于一条边的倍数发生变化的时候，会导致体积的倍数发生相同的变化。

    D=∣a11a12…a1n⋮⋮⋱⋮kai1kai2…kain⋮⋮⋱⋮an1an2…ann∣=k∣a11a12…a1n⋮⋮⋱⋮ai1ai2…ain⋮⋮⋱⋮an1an2…ann∣=kD1{\displaystyle D={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\color {blue}k}a_{i1}&{\color {blue}k}a_{i2}&\dots &{\color {blue}k}a_{in}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}={\color {blue}k}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i1}&a_{i2}&\dots &a_{in}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}={\color {blue}k}D_{1}}

  • 在行列式中，某一行（列）的每个元素是两数之和，则此行列式可拆分为两个相加的行列式。类似于在计算高的时候，将高拆分成两个部分计算。

    ∣a11a12…a1n⋮⋮⋱⋮ai1+bi1ai2+bi2…ain+bin⋮⋮⋱⋮an1an2…ann∣=∣a11a12…a1n⋮⋮⋱⋮ai1ai2…ain⋮⋮⋱⋮an1an2…ann∣+∣a11a12…a1n⋮⋮⋱⋮bi1bi2…bin⋮⋮⋱⋮an1an2…ann∣{\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\color {blue}a_{i1}}+{\color {OliveGreen}b_{i1}}&{\color {blue}a_{i2}}+{\color {OliveGreen}b_{i2}}&\dots &{\color {blue}a_{in}}+{\color {OliveGreen}b_{in}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\color {blue}a_{i1}}&{\color {blue}a_{i2}}&\dots &{\color {blue}a_{in}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\color {OliveGreen}b_{i1}}&{\color {OliveGreen}b_{i2}}&\dots &{\color {OliveGreen}b_{in}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}}

二、计算

2.1 定义计算

det⁡(A)=∑σ∈Snsgn⁡(σ)∏i=1nai,σ(i)\det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}

我们一般按照行计算，那么我们选择一个 “排列”，然后按照内容挑选列好，比如说对于一个 n=5n = 5 的排列 3,2,5,1,43, 2, 5, 1, 4 ，我们就选择元素 a1,3,a2,2,a3,5,a4,1,a5,4,\tt{a_{1, 3},a_{2, 2},a_{3, 5},a_{4, 1},a_{5, 4},} 然后将他们乘起来，然后还要根据这个排序的逆序数是否为偶数判定符号，最后将所有的排序累加起来。

所以从这里可以看出，此时的复杂度是 O(n)×O(n!)=O(n×n!)O(n) \times O(n!) = O(n\times n!) 的，这是因为每次都需要进行 nn 次的乘积。

2.2 拉普拉斯计算

image-20230213213402272

这种计算本质上第一种是等价的，而且复杂度同样是 O(n×n!)O(n\times n!)。

2.3 低维计算

对于二维矩阵，有如下公式

image-20230213213820074

对于三维矩阵，有如下公式

image-20230213213847043

有如下方便记忆的形式

image-20230213213918547

三、性质

3.1 行变换相关

主要涉及上面的倒数第二条和倒数第三条，这也是改进行列式计算的一个方法，因为普世的方法的复杂度是 O(n×n!)O(n\times n!)，我们可以利用这两条性质将其变换成上三角的形式，而当一个矩阵呈现上三角的形式的时候，就会出现如下性质

image-20230213214226994

这个形式是因为大量的排列都会因为半个矩阵的 0 导致没用，最后只有对角线的元素会被计算（其他的排列的元素中都会有 0），这样时间复杂度就会被降到 O(n3)O(n^3) ，这是因为发生一次行变换需要 O(n)O(n)，一共需要发生 O(n2)O(n^2) 次变换。

这个方法也适用于普世的、手写的行列式计算。

3.2 运算性质

数乘，因为每一行都提出一个 μ\mu ，最后就会提出 nn 个 μ\mu 。

∣μA∣=μn∣A∣\big\lvert\mu A\big\rvert = \mu^n \big\lvert A \big\rvert

矩阵相乘

∣AB∣=∣A∣×∣B∣\big\lvert AB \big\rvert = \big\lvert A \big\rvert \times \big\lvert B \big\rvert

矩阵的逆

∣A−1∣=1∣A∣\big\lvert A^{-1} \big\rvert = \frac{1}{\big\lvert A \big\rvert}

3.3 特征值相关

在求解特征方程的时候，本质在求解

Ax=λx⇒(A−λI)x=0⇒∣A−λI∣=0Ax = \lambda x \quad\Rightarrow\quad (A - \lambda I) x = 0 \quad\Rightarrow\quad \big\lvert A - \lambda I \big\rvert = 0

这是因为如果想要让中间的式子有非零解，说明一定要让这个线性方程组不满秩（满秩只有唯一解，这个唯一解就是 0），所以前面的系数矩阵的行列式一定是 0 的。

此外有引理，行列式的值就是所有特征值的累乘，这个可以利用相似矩阵结合行列式乘法进行证明。