一、特征方程的求解
这里首先给出一个方程
这个方程描述的是,一个非零向量
这个方程本质上是为了每个特定的
上面的方程可以变形成方程组的形式
因为这个方程组(将上面的式子理解成一个线性方程组)一定有零解,所以如果想要非零解,就说明系数矩阵
这个行列式对应的多项式被称为特征多项式,求出来的值就是特征值
然后根据求解出来的
二、特征向量与相似性
2.1 相似定义
设
则称
如果想要直观理解,可以这样理解同一个线性变化,在不同基下的矩阵,称为相似矩阵。也就是下面的图
发生的都是线性变换都是将紫色的向量变成黄色的向量,但是因为基的不同,所以线性变换的内容也由
其中
2.2 特征向量与对角矩阵相似
我们进行基变换的目的一般都是为了让线性变换的形式更加简单(就好像我们喜欢沿着椭圆的长短轴建系一样),那么线性变换比较简单的一个形式就是对角矩阵,因为在这个形式下,变化变得十分显然。
我们举一个例子来联系特征向量和对角矩阵相似推导。
这个方程的三个特征向量分别是
那么由特征方程有
如果再令
这个
三、矩阵的运动
到底特征值和特征向量怎样用运动去理解,我们知道,当一个方阵A满秩时候,就有
其中
我们知道,在运动的观点下看,矩阵乘法的意义是把原来的一个向量x通过矩阵A变换成一个新的向量,发生了一次运动,原来我理解特征值和特征向量就是,只有特征向量会在A的作用下方向不发生改变,只有大小发生改变,改变的倍数就是对应特征值,但是这样分析好像不够本质,我们用多次运动来将其更加直观一些。即A次幂,有
其中,
也就是说,无论输入什么向量,在多次运动后,其方向都会趋于最大特征值对应的特征向量的方向,也就是说,这个矩阵有一个很本质的运动趋势可以用特征向量来概括,就好像推动帆船的风一样,虽然船的方向不一定与风相同,但是只要吹得久,最终都会相同。