集合论是后面关系，函数和图论的基础，可以说充分体现了离散数学“元数学”的特性。
一个给定的元素是否属于某一个集合，这是集合论中的一个基本问题。元素与集合之间这种属于关系（成员关系），是集合中的一个基本关系。
这篇博文介绍了一种做题方法，可以说在某些意义上，更加逼近了集合论的本质。我十分满意。
一、集合的归纳构造
集合构造的很多方法都是高中接触过的，所以只在这里介绍归纳构造这一种方法，而且是以字符串集合来介绍的。
1.1 归纳定义组成
基础语句：规定了集合的生成元，即指明集合中存在的某些客体。它具有两重作用：说明集合是非空的；规定构造集合的原子元素。
归纳语句：规定了集合的生成算法，由一组规则组成，说明由已知元素构成集合中新元素的规则。
极限语句：限定了集合的范围，除非有限次应用基础语句和归纳语句而得到的元素，其他任何客体都不是集合中元素。
1.2 字符串集合相关定义
$\Sigma$ （是大写的 $\sigma$）是一个有穷非空集合，其中的元素称为符号或者字母，$\Sigma$ 被称为字母表。
在 $\Sigma$ 上的字或串（两个名字，说的是一个对象）是一个有限长的字符串，其中每个字符都是 $\Sigma$ 上的元素。
设 $x$ 是字母表上的串，$x$ 含有的的字符的个数称为 $x$ 的长度。
若一个字符串长度为 0，则称之为空串或者零串，表示为 $\varepsilon$ 。
在字符串上的基本运算是连接运算，以此衍生出前缀后缀的概念。
1.3 字符串集合的归纳定义
构造字符串集合 $\Sigma^\ast$ ：
基础语句：$\varepsilon \in \Sigma^\ast$
归纳语句：若 $x\in \Sigma^\ast,\space a\in\Sigma$ ，则 $xa\in \Sigma^\ast$
极限语句：集合 $\Sigma^\ast$ 只含有由上两条语句构建出来的元素
这里主要是强调，字符串集合的归纳规则是很简单的，在出集合的归纳定义的题目的时候，原子元素的选择和生成算法都是很难很难的点。
有了字符串集合的定义，我们有了新的定义语言，即：设 $\Sigma$ 是一个有限字母表，一个在 $\Sigma$ 上的语言是 $\Sigma^\ast$ 的一个子集。
1.4 其他题目
这里介绍一个题目，这个题目最大的难点就是认识到 “1.” 是合法的，就是 1，解法如下
二、集合的运算
2.1 集合的本质
虽然在这一章中会涉及很多公式，答案也会有很多天外飞仙的构造式证明。但是我认为，切不可被这些表象蒙蔽了双眼，盲目追逐答案的奇技淫巧，甚至背诵公式以至于背诵答案。
那么到底什么是集合的本质呢？一个给定的元素是否属于某一个集合，这是集合论中的一个基本问题。元素与集合之间这种属于关系（成员关系），是集合中的一个基本关系。那么这个到底怎么应用呢，我觉得可以落实到集合的抽象定义法中
可以看到，判断属于关系变成了判断一个谓词逻辑的真值了。那么所谓的集合的运算式什么呢？举个例子
首先我们应该有一个明确的意识，就是“集合的运算”的运算对象不是集合，而是元素，产生的新集合的元素发生了改变，这才是最本质的东西，如果一味的以为集合就是最底层，就会陷入各种复杂的公式中（理论上讲，这些公式是写不完的）。
其次就是，我们发现，集合的运算可以抽象成属于关系的运算，进而变成谓词逻辑的运算，换句话说，我们可以建立一个映射关系，有
2.2 方法的核心
上面讲的还是很符合数学的严谨性的，但是作为个人发明的方法，就会有一些不严谨的地方，我也不打算严谨化了。
其实这种方法可以看做是一种退化版的集合特征函数的应用。
这里讲的方法是将一个集合运算与一个命题逻辑表达式映射（原理应该是元素选取的随机性），比如说
我们去做恒等式的证明的时候，其实就是做命题逻辑的化为主析取范式（因为我比较习惯，主合取范式也行），因为主析取范式是唯一的，所以从恒等式两端开始的化简，最后会化成同一个式子。这种思路会大大简化做题难度，比如说这道题：
同一律就是一种构造手段，一般人是想不出来的，但是如果按照我的方法：
可以看到，很轻松的就解决了这道题。如果说的在细致一些，某个特定的集合，也可以与一组二进制码（或者真值建立映射），比如说
这个方法可以看做是一种枚举方法。真正实操的时候，不需要引入命题逻辑符号，只需要用集合论的符号体系即可，即：
2.3 方法的完善
在方法核心里，我们只是完成了集合运算的映射，但是对于集合的包含关系，并没有翻译全，这里补上，有
对于相等关系，我们也有
有了这两个，我们就可以处理另一类题目了，就是补条件使恒等式成立，如
给出充要条件，使 $(A - B)\cup(A-C) = A$
可以看出，答案给出的方法十分难懂，但是如果把两侧都画出来，就会发现有
可以看到，A多了111一项，那么就让这项对应的集合为空集就好了，即
进行一个变形，有
2.4 运算性质
虽然我们用了三个小节的篇幅介绍了“集合的运算要落实到元素上，并以此衍生出了一个好用的方法”。但是我还是希望在面对集合的运算的时候，能够像处理普通算数运算一样更加从容一些。我们普通的算数运算，比较好的性质时交换律，结合律，分配律三种。
经过一段时间的演算，我得出结论，$\cap,\cup,\oplus$ 是满足交换律和结合律的，而 $-$ 是不满足交换律和结合律的。
对于分配律，因为涉及到两个运算符，所以就不在这里讨论了。可以说，很多时候都是不满足的，最后会构造出一些似是似非的二级结论，这些二级结论的正确性肯定没有问题，但是普适性就会差很多，所以不在此一一记录了。
三、集类
3.1 总论
所谓集类，又被称为集合的聚合，就是以集合为元素的一类特殊集合，我们之所以要提出这个概念，是因为其具有广泛的应用，比如说在概率论中，事件就是用集合表示的，而基本事件组成了一个集合，事件相当于这个集合的子集，也可以看做这个集合幂集的元素。我们当然更青睐以后一种看法，是因为我们集合论研究的不是集合与集合的关系，而是集合与元素的关系。
集类举例如下：
3.2 幂集
幂集是我们构造集类的一种方法，可以看做一种由普通集合到集类的映射。就挺简单的，就不多说了。
3.3 广义交并
广义交并是定义在集类上的一元运算。可以看做一种由集类到普通集合的映射。有如下例（用3.1举到的例子）：
此外，还有一点需要注意，即公式
这里面没有 $\bigcap \emptyset = \emptyset$ 是因为广义并不能运算空集，在定义的时候，运算空集会获得全集，显然是我们不期望的。
四、基数
4.1 概念
如果 $A$ 是一个集合，$n(A)$ 表示集合 $A$ 中元素的个数。
- 若 $n(A) = 0$ 那么称 $A$ 为空集
- 若 $n(A)$ 为自然数，则称 $A$ 为有限集
- 若 $n(A)$ 为无穷大，那么称 $A$ 为无限集
4.2 无限集的分类
我们对无限集还是可以进一步描述的，对于和自然数集 $N$ 等势的集合，我们叫做可列集。这样的集合有 $N,N\times N, N\times N \times \cdots,Q$。这样的基数被称为 $n(N)$ 为阿列夫零（我实在找不到那个像龙符咒一样的符号）。
还有一种与实数集等势的无限集，他们的基数被称为阿列夫，这个基数要比阿列夫零有大（直观理解上）。这样的集合有 $\wp(N) , R, R\times R,R\times R \cdots$ 。
4.3 无限集的判定
有以下三个条件等价：
- $A$ 为无限集。
- $A$ 有可列子集。
- $A$ 有与它自身等势的真子集。