Abstract Algebra

群

下面介绍的诸多概念，都是在描述特定性质的集合以及定义在其上的操作，它写作 $(G,\ast )$。其中 $G$ 表示集合（里面的元素是什么不重要，重要的是满足特定的性质），而 $\ast$ 是定义在 $G$ 上的操作。

不同的概念，本质上是满足的性质逐渐递增的一个过程。

半群 SemiGroup

半群满足以下条件：

• 封闭律：如果 $a,b\in G$ ，那么有 $a\ast b\in G$ 。
• 结合律：有 $(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$ 。

幺半群 Monoid

在半群的基础上，又补充了“单位元（也就是‘幺’）”的规则：

• 单位元：有 $i\in G$ ，满足对于任意 $a\in G$ ，都有 $a\ast i=i\ast a=a$ 。

群 Group

群又在幺半群的基础上，增加了逆元：

• 逆元：对于任意 $a\in G$ ，都存在 $a^{-1}\in G$ ，满足 $a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=i$ 。

阿贝尔群 Abelian Group

在群的基础上，引入了交换律：

• 交换律：有 $a\ast b=b\ast a$ 。

环与域

环 Ring

相比于群只有一种操作，环定义了两种操作，也就是写作 $(G,+,\ast )$ 。它要求存在分配律，也就是：

$$a\ast (b+c)=a\ast c+b\ast c$$

域 Field

在环的基础上，要求引入乘法逆元，也就是除法。

向量空间

向量空间 Vector Space

在向量空间上定义了两种操作：

• 向量加法：两个向量相加，得到一个新的向量
• 数乘：一个标量与一个向量相乘，得到一个新的向量

数乘的标量如果来自域，那么就称为向量空间。

模 Module

而如果数乘的标量来自环，那么就称之为模。

同态与同构

像上面介绍的“群”和“环”这样的东西，被称作“代数结构（Algebraic structure）”。而同态和同构都是描述在两个代数结构（比如说 $(G,\ast )$ 和 $(H,+)$）之间存在满足特定规则的映射（比如说 $f:G\to H$）。

通俗一些说，同态和同构都是在说两个代数结构“长得很像”。

同态 Homomorphism

当 $a,b\in G$ 时，如果满足如下条件，则称 $f$ 是一个同态：

$$f(a\ast b)=f(a)+f(b)$$

同构 Isomorphism

同构是更严格的同态，同态的 $f$ 只需要是单射，而同构的 $f$ 需要是双射。